3.9.3 Введение дополнительных объясняющих переменных, 3.9.4 Введение линейных ограничений

Если $\mathbf{P}$ проецирует на $\mathcal{C}(\mathbf{X})$, покажите, что $\mathbf{Z}^{T}\left(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{P}\right) \mathbf{Z}$ невырождена.

Докажите, что если $\mathbf{X}_{1}$ — матрица $n \times r$ ранга $r$, состоящая из набора $r$ линейно независимых столбцов $\mathbf{X}$, то $\mathbf{X} = \mathbf{X}_{1} \mathbf{L}$, где $\mathbf{L}$ — матрица $r \times p$ ранга $r$.

Докажите, что $\mathbf{B}$ имеет полный столбцовый ранг.

Если $\mathbf{X}$ имеет полный ранг и $\widehat{\mathbf{\theta }}_{\omega } = \mathbf{X} \widehat{\mathbf{\beta }}_{H}$, покажите, что

Покажите, как модифицировать приведённую выше теорию для случая, когда ограничения имеют вид $\mathbf{A} \mathbf{\beta } = \mathrm{c}(\mathrm{c} \neq 0)$.