3f

3.7 Введение дополнительных объясняющих переменных: 3.7.1 Общая теория, 3.7.2 Одна дополнительная переменная

[4/100%]
Показать
LaTeX
Задача 3f.1

Докажите, что

YTRY−YTRGY=σ2γ^GT(Var⁡[γ^G])−1γ^G \mathbf{Y}^{T} \mathbf{R Y}-\mathbf{Y}^{T} \mathbf{R}_{G} \mathbf{Y} = \sigma ^{2} \widehat{\gamma }_{G}^{T}\left(\operatorname {Var}\left[\widehat{\mathbf{\gamma }}_{G}\right]\right)^{-1} \widehat{\gamma }_{G}
?
Задача 3f.2

Докажите, что γ^G\widehat{\gamma }_{G} можно получить, заменив Y\mathbf{Y} на Y−Zγ\mathbf{Y}-\mathbf{Z} \gamma в YTRY\mathbf{Y}^{T} \mathbf{R Y} и минимизируя по γ\gamma. Покажите далее, что полученное таким образом минимальное значение равно YTRGY\mathbf{Y}^{T} \mathbf{R}_{G} \mathbf{Y}.

?
Задача 3f.3

Если β^G=(β^G,j)\widehat{\mathbf{\beta }}_{G} = \left(\widehat{\beta }_{G, j}\right) и β^=(β^j)\widehat{\mathbf{\beta }} = \left(\widehat{\beta }_{j}\right), используя теорему 3.6 (iv), докажите, что

Var⁡[β^G,j]≥Var⁡[β^j] \operatorname {Var}\left[\widehat{\beta }_{G, j}\right] \geq \operatorname {Var}\left[\widehat{\beta }_{j}\right]
?
Задача 3f.4

Пусть Y1,Y2,…,YnY_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n} независимо распределены как N(θ,σ2)N\left(\theta , \sigma^{2}\right), найдите оценку наименьших квадратов θ\theta.

?
(a)

Используя теорему 3.6, найдите оценки наименьших квадратов и остаточную сумму квадратов для дополненной модели

Yi=θ+γxi+εi(i=1,2,…,n) Y_{i} = \theta +\gamma x_{i}+\varepsilon _{i} \quad (i = 1,2, \ldots , n)

где εi\varepsilon_{i} независимо распределены как N(0,σ2)N\left(0, \sigma^{2}\right).

(b)

Проверьте формулы для оценок наименьших квадратов θ\theta и γ\gamma, продифференцировав обычную сумму квадратов.