3.3 Несмещённое оценивание sigma^2

[2/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 3c.1

(a)(b)(c)

Предположим, что $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mathbf{X} \mathbf{\beta }, \sigma^{2} \mathbf{I}_{n}\right)$ , где $\mathbf{X}$ имеет размер $n \times p$ и $\operatorname {rank} p$ .

(a)

Найдите $\operatorname {Var}\left[S^{2}\right]$ .

(b)

Вычислите $\mathbb {E}\left[\left(Y^{T} \mathbf{A}_{1} \mathbf{Y}-\sigma^{2}\right)^{2}\right]$ для

\mathbf{A}_{1} = \frac{1}{n-p+2}\left[\mathbf{I}_{n}-\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{T}\right]

(c)

Докажите, что $\mathbf{Y}^{T} \mathbf{A}_{1} \mathbf{Y}$ является оценкой $\sigma^{2}$ с меньшей среднеквадратичной ошибкой, чем $S^{2}$ .

Задача 3c.2

Пусть $Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}$ независимо и одинаково распределены со средним $\theta$ и дисперсией $\sigma^{2}$ . Найдите неотрицательную квадратичную несмещённую оценку $\sigma^{2}$ с минимальной дисперсией.