11.4 Сингулярное разложение: 11.4.1 Регрессионные вычисления с использованием SVD, 11.4.2 Вычисление SVD, 11.5 Взвешенный метод наименьших квадратов, 11.6 Добавление и удаление наблюдений и переменных: 11.6.1 Формулы обновления, 11.6.2 Связь со sweep-оператором, 11.6.3 Добавление и удаление наблюдений и переменных с использованием QR, 11.7 Центрирование данных, 11.8 Сравнение методов: 11.8.1 Ресурсы, 11.8.2 Эффективность, 11.8.3 Точность, 11.8.4 Два примера, 11.8.5 Резюме

Докажите, что число обусловленности $\mathbf{X}_{w}$ задаётся формулой (11.61).

Повторите вычисления из примера 11.3, используя функцию $f(t) = \cos 4 t$ вместо $\exp (\sin 4 t)$. Сохраняется ли при этом ранжирование методов? Пример кода на R приведён после упражнения 3 ниже.

Измените приведённый ниже код так, чтобы подсчитывать число операций с плавающей точкой (flops), требуемых для выполнения каждого алгоритма. Насколько точны формулы, приведённые в таблице 11.2? ####################################################### # MGSA function: calculates Q and R^{-1} of QR decomp mgsa<-function(A){ n<-dim(A)[1] p<-dim(A)[2] GG<-diag(p) for(i in 1:(p-1)){ a<-A[,i] denom<-sum(aa) G<-numeric(p) for(j in (i+1):p){ num<-sum(A[,j]a) G[j]<- -num/denom A[,j]<-A[,j]+aG[j] } GG<-GG + outer(GG[,i],G) } list(W=A,G=GG) } ####################################################### #Householder function: calculates R of QR decomp of A house<-function(A){ n<-dim(A)[1] p<-dim(A)[2] for(j in 1:p){ indices<-j:n # construct Householder vector u<-numeric(n) u[indices]<-A[indices,j] unorm1<-sqrt(sum(u[indices]^2)) unorm2<-sum(u[indices[-1]]^2) uu<-u[j] u[j]<-if(uu<0)uu-unorm1 else -unorm2/(uu+unorm1) gamma<-0.5(unorm2 + u[j]^2) # multiply by householder matrix A[indices,j]<-0 A[j,j]<-unorm1 if(j==p)return(A) for(l in (j+1):p){ k<-sum(A[indices,l]u[indices])/gamma A[indices,l]<-A[indices,l] - ku[indices] } } A } ####################################################### # Givens function: calculates R of QR decomp of A givens<-function(A){ n<-dim(A)[1] p<-dim(A)[2] for(j in 1:(p-1)){ indices<-j:p for(i in (j+1):n){ sqr<-sqrt(A[j,j]^2+A[i,j]^2) cc<-A[j,j]/sqr ss<-A[i,j]/sqr temp<-ccA[j,indices] + ssA[i,indices] A[i,indices]<- -ssA[j,indices] + ccA[i,indices] A[j,indices]<-temp } } A }