11.3 QR-разложение: 11.3.1 Вычисление регрессионных величин, 11.3.2 Алгоритмы QR- и WU-разложений

Пусть $\mathbf{q}_{1}, \ldots , \mathbf{q}_{p}$ — векторы, построенные в алгоритме 11.3. Покажите, что $\mathbf{q}_{1}, \ldots , \mathbf{q}_{j}$ — ортонормированный базис для $\mathcal{C}\left(\mathbf{a}^{(1)}, \ldots , \mathbf{a}^{(j)}\right)$ при $j = 1,2, \ldots , p$.

Покажите, что верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами невырождена. Также докажите, что обратная к верхнетреугольной матрице с единичными диагональными элементами также является верхнетреугольной с единичными диагональными элементами.

Выведите формулы (11.23), (11.24) и (11.25).

Докажите, что в начале этапа $j$ алгоритма MGSA столбцы $\mathbf{a}^{(1)}, \ldots , \mathbf{a}^{(j)}$ ортогональны, ортогональны $\mathbf{a}^{(j+1)}, \ldots , \mathbf{a}^{(p)}$ и порождают первые $j$ столбцов исходной матрицы.

Покажите, что произведение ортогональных матриц ортогонально.

Покажите, что если $\mathbf{Q}_{p}, \mathbf{Q}_{n-p}$ и $\mathbf{r}_{1}$ определены как в (11.36), то предсказанные значения $\widehat{\mathbf{Y}}$ задаются формулой

Пусть $\mathbf{G}_{i h}$ задано формулой $(11.40)$ и $\widetilde{\mathbf{D}} = \operatorname {diag}\left(\tilde{d}_{1}, \ldots , \tilde{d}_{n}\right)$. Покажите, что существует диагональная матрица $\mathbf{D} = \operatorname {diag}\left(d_{1}, \ldots , d_{n}\right)$ и быстрый ротатор вида (11.45), такие что $\mathbf{G}_{i h} = \mathbf{D M} \tilde{\mathbf{D}}^{-1}$. Покажите, что

где $t = s / c$ и $r = \tilde{d}_{h} / \tilde{d}_{i}$.