11a

11.1 Введение: 11.1.1 Основные методы, 11.2 Прямое решение нормальных уравнений: 11.2.1 Вычисление матрицы X^T X, 11.2.2 Решение нормальных уравнений

[4/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 11a.1

Вычислите алгебраически решение системы линейных уравнений, соответствующей матрице

\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\epsilon & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{smallmatrix}\right]

используя гауссово исключение с частичным выбором ведущего элемента и без него. Покажите, что если частичный выбор ведущего элемента не используется, решение $x_{3}$ вычисляется как

-\frac{2-1 / \epsilon }{1 / \epsilon }

а при использовании частичного выбора ведущего элемента — как $1-2 \epsilon$ . Прокомментируйте точность этих двух методов, если $\epsilon$ очень мало.

Задача 11a.2

Покажите, что применение одного шага гауссова исключения к матрице $\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}$ даёт матрицу

\left[\begin{smallmatrix} n & n \overline{\mathbf{x}} \\ \mathbf{0} & \widetilde{\mathbf{X}}^{T} \widetilde{\mathbf{X}} \end{smallmatrix}\right]

где $\widetilde{\mathbf{X}}$ — центрированная версия $\mathbf{X}$ .

Задача 11a.3

Проверьте (11.15) и, следовательно, покажите, что $\sqrt{\mathrm{RSS}}$ задаётся $(p+1, p+1)$ -м элементом матрицы $\mathbf{R}_{A}$ .

Задача 11a.4

Если $\mathbf{R}^{T} \mathbf{R}$ — разложение Холецкого матрицы $\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}$ , покажите, что

\operatorname {det}\left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right) = \prod _{i = 1}^{p} r_{i i}^{2}