10e

10.6 Обнаружение выбросов и работа с ними: 10.6.1 Типы выбросов, 10.6.2 Выявление точек с высоким рычагом, 10.6.3 Диагностика по методу исключения одного наблюдения, 10.6.4 Критерий для выбросов, 10.6.5 Другие методы

[5/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 10e.1

Рассмотрим линейную функцию $\mathbf{d}^{T} \mathbf{\beta }$ от $\mathbf{\beta }$ . Покажите, что изменение оценки $\mathbf{d}^{T} \widehat{\mathbf{\beta }}$ при удалении $i$ -го наблюдения равно

\mathbf{d}^{T} \widehat{\mathbf{\beta }}(i)-\mathbf{d}^{T} \widehat{\mathbf{\beta }} = \left(\mathbf{C}^{T} \mathbf{d}\right)_{i} e_{i} /\left(1-h_{i}\right),

где $\mathbf{C}$ — «улавливающая» матрица $\left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{T}$ .

Задача 10e.2

Покажите, что

\mathbf{Y}_{D}-\mathbf{X}_{D} \widehat{\mathbf{\beta }}(D) = \left(\mathbf{I}-\mathbf{H}_{D}\right)^{-1}\left[\mathbf{Y}_{D}-\mathbf{X}_{D} \widehat{\mathbf{\beta }}(D)\right]

Задача 10e.3

Предположим, что мы удаляем множество наблюдений $D$ . Покажите, что версия «удаления $d$ »

\frac{\operatorname {det}\left(\mathbf{X}_{A}(D)^{T} \mathbf{X}_{A}(D)\right)}{\operatorname {det}\left(\mathbf{X}_{A} \mathbf{X}_{A}\right)}

статистики Эндрюса-Прегибона может быть записана как

\operatorname {det}\left(\mathbf{I}_{d}-\mathbf{H}_{D}\right)\left[1-\frac{\mathbf{e}_{D}^{T}\left(\mathbf{I}_{d}-\mathbf{H}_{D}\right)^{-1} \mathbf{e}_{D}}{\operatorname {RSS}}\right]

Задача 10e.4

Пусть $h_{i, A}$ — $i$ -й диагональный элемент шляпной матрицы, построенной по ( $\mathbf{X}, \mathbf{Y}$ ), а не по $\mathbf{X}$ . Покажите, что $A P(i) = 1-h_{i, A}$ . Указание: используйте результаты раздела 10.6.3.

Задача 10e.5

(a)(b)(c)

Кривая влияния для оценки наименьших квадратов $\widehat{\mathbf{\beta }}$ была получена в примере 3.22. Выборочный вариант функции влияния (ФВ) (ср. раздел 3.13.3) можно определить, взяв $\mathrm{z}_{0} = \left(\mathbf{x}_{i}, Y_{i}\right), t = -1 /(n-1), F$ как эмпирическую функцию распределения $\widehat{F}_{n}$ , и рассмотрев разность $\left[T\left(F_{t}\right)-T(F)\right] / t$ вместо производной. Это приводит к выборочной кривой влияния $\mathrm{SIC}_{i}$ , задаваемой формулой

\mathrm{SIC}_{i} = -(n-1)\left\{ T\left[(n-1)^{-1}\left(n \widehat{F}_{n}-\delta _{i}\right)\right]-T\left(\widehat{F}_{n}\right)\right\}

где $\delta_{i}$ помещает массу 1 в точку ( $\mathbf{x}_{i}, Y_{i}$ ).

(a)

Покажите, что $(n-1)^{-1}\left(n \widehat{F}_{n}-\delta_{i}\right)$ — эмпирическая функция распределения, вычисленная по оставшимся $(n-1)$ точкам, когда $i$ -е наблюдение удалено из выборки.

(b)

Отсюда покажите, что для функционала оценки наименьших квадратов $T$

\mathrm{SIC}_{i} = (n-1)(\widehat{\mathbf{\beta }}(i)-\widehat{\mathbf{\beta }})

(c)

Величина $\mathrm{SIC}_{i}$ является вектором. Общую скалярную меру можно получить, рассмотрев величину

D_{i}(\mathbf{M}, c) = c^{-1}\left(\mathrm{SIC}_{i}\right)^{T} \mathbf{M}\left(\mathbf{S I C}_{i}\right)

где $\mathbf{M}$ — положительно определённая матрица, а $c$ — положительная константа. Покажите, что если выбрать $\mathbf{M} = \mathbf{X}^{T} \mathbf{X}$ и $c = p S^{2} /(n-1)^{2}$ , мы получим расстояние Кука.

Подробнее о подходе к обнаружению выбросов на основе функции влияния см. Cook and Weisberg [1982, Chapter 3] и Chatterjee and Hadi [1988, Chapter 5].