10d

10.5 Отклонения от нормальности: 10.5.1 Нормальные вероятностные графики, 10.5.2 Преобразование отклика, 10.5.3 Преобразование обеих частей

[3/100%]
Показать
LaTeX
Задача 10d.1

Пусть Z(1),…,Z(n)Z_{(1)}, \ldots , Z_{(n)} — порядковые статистики, вычисленные по случайной выборке из распределения N(0,1)N(0,1). Тогда (см., например, David [1981], Azzalini [1996: p. 301]) плотность Z(i)Z_{(i)} равна

n!(i−1)!(n−i)!Φ(z)i−1[1−Φ(z)]n−iϕ(z) \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \Phi (z)^{i-1}[1-\Phi (z)]^{n-i} \phi (z)

где Φ\Phi и ϕ\phi — соответственно функция распределения и плотность стандартного нормального распределения.

?
(a)

Выполнив замену переменной, покажите, что

E[Z(i)]=B(i,n−i+1)−1∫01Φ−1(y)yi−1(1−y)n−idy \mathbb {E}\left[Z_{(i)}\right] = B(i, n-i+1)^{-1} \int _{0}^{1} \Phi ^{-1}(y) y^{i-1}(1-y)^{n-i} d y

где B(i,n−i+1)B(i, n-i+1) — бета-функция (A.13.6).

(b)

Используя определение интеграла, покажите, что

E[Z(i)]≈∑j=1nΦ−1[(j−0.5)/n]wij \mathbb {E}\left[Z_{(i)}\right] \approx \sum _{j = 1}^{n} \Phi ^{-1}[(j-0.5) / n] w_{i j}

где

wij=B(i,n−i+1)−1∫(j−1)/nj/nyi−1(1−y)n−idy w_{i j} = B(i, n-i+1)^{-1} \int _{(j-1) / n}^{j / n} y^{i-1}(1-y)^{n-i} d y
(c)

Объясните, почему веса wijw_{i j} в сумме дают 1.

(d)

Прокомментируйте точность приближения

E[Z(i)]≈Φ−1[(i−0.5)/n] \mathbb {E}\left[Z_{(i)}\right] \approx \Phi ^{-1}[(i-0.5) / n]
Задача 10d.2

Предположим, что g(y,λ)g(y, \lambda ) — семейство монотонно возрастающих преобразований, таких что g(Yi,λ)g\left(Y_{i}, \lambda \right) имеет распределение N(xiTβ,σ2)N\left(\mathbf{x}_{i}^{T} \beta , \sigma^{2}\right).

?
(a)

Покажите, что логарифм правдоподобия для Y1,…,YnY_{1}, \ldots , Y_{n} равен

c−n2log⁡σ2−12σ2∑i=1n[g(yi,λ)−xiTβ]2+∑i=1nlog⁡∣∂g(yi,λ)∂yi∣ c-\frac{n}{2} \log \sigma ^{2}-\frac{1}{2 \sigma ^{2}} \sum _{i = 1}^{n}\left[g\left(y_{i}, \lambda \right)-\mathbf{x}_{i}^{T} \beta \right]^{2}+\sum _{i = 1}^{n} \log \left|\frac{\partial g\left(y_{i}, \lambda \right)}{\partial y_{i}}\right|
(b)

Покажите, что в случае преобразования Джона-Дрейпера логарифм правдоподобия равен

c−n2log⁡σ2−12σ2∑i=1n[g(yi,λ)−xiTβ]2+(λ−1)∑i=1nlog⁡(1+∣yi∣) c-\frac{n}{2} \log \sigma ^{2}-\frac{1}{2 \sigma ^{2}} \sum _{i = 1}^{n}\left[g\left(y_{i}, \lambda \right)-\mathbf{x}_{i}^{T} \beta \right]^{2}+(\lambda -1) \sum _{i = 1}^{n} \log \left(1+\left|y_{i}\right|\right)
Задача 10d.3

Покажите, что при фиксированном λ\lambda значения β\beta и σ2\sigma^{2}, минимизирующие (10.47), равны

β∗=(XTX)−1XTEλ∗[Y] \beta _{*} = \left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{T} \mathbb {E}_{\lambda _{*}}\left[\mathbf{Y}\right]

и

σ∗2=n−1{Eλ∗[YT(In−P)Y]+tr⁡(Var⁡λ∗[Y]P)} \sigma _{*}^{2} = n^{-1}\left\{ \mathbb {E}_{\lambda _{*}}\left[\mathbf{Y}^{T}\left(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{P}\right) \mathbf{Y}\right]+\operatorname {tr}\left(\operatorname {Var}_{\lambda _{*}}\left[\mathbf{Y}\right] \mathbf{P}\right)\right\}

где EλE_{\lambda } обозначает математическое ожидание относительно hλh_{\lambda }, а P=X(XTX)−1XT\mathbf{P} = \mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{T}.

?