10.4 Непостоянная дисперсия и последовательная корреляция: 10.4.1 Обнаружение непостоянной дисперсии, 10.4.2 Оценивание функций дисперсии, 10.4.3 Преобразования для выравнивания дисперсий, 10.4.4 Последовательная корреляция и критерий Дарбина–Уотсона

Пусть $\mathbf{G} = \mathbf{\Sigma }^{-1} \mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{\Sigma }^{-1} \mathbf{X}\right)^{-1}$, и пусть $\mathbf{Q}$ — ортонормированный базис для $\mathcal{C}(\mathbf{X})^{\perp }$, так что $\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{T} = \mathbf{I}_{n}-\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{T}$. Проверьте, что $\mathbf{G}^{T} \mathbf{\Sigma } \mathbf{Q} = \mathbf{0}$ и что $\mathbf{G}^{T} \mathbf{\Sigma } \mathbf{G} = \left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{\Sigma }^{-1} \mathbf{X}\right)^{-1}$.

Пусть $\mathbf{M} = \left(\mathbf{\Sigma }^{1 / 2} \mathbf{Q}, \mathbf{\Sigma }^{1 / 2} \mathbf{G}\right)$. Покажите, что $\mathbf{M}$ имеет полный ранг, так что $\mathbf{M}\left(\mathbf{M}^{T} \mathbf{M}\right)^{-1} \mathbf{M}^{T} = \mathbf{I}_{n}$.

Используя (б), докажите (10.38).

Используя тот факт, что $[\operatorname {det}\left(\mathbf{M}\right)]^{2} = \operatorname {det}\left(\mathbf{M}^{T} \mathbf{M}\right)$, докажите (10.39).

Предположим, что $\mathbf{Y} = \left(Y_{1}, \ldots , Y_{n}\right)^{T}$, где $Y_{i}$ независимы и одинаково распределены как $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$. Найдите ограниченное правдоподобие для $\mathbf{Q}^{T} \mathbf{Y}$.

Покажите, что в этом примере REML-оценка $\sigma^{2}$ совпадает с обычной несмещённой оценкой $S^{2} = (n-1)^{-1} \sum_{i = 1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}$. Таким образом, в этом случае REML-оценка несмещённа, а ОМП — нет.