10.1 Введение, 10.2 Остатки и диагональные элементы матрицы-шляпы

Выразите $e_{i}$ в виде $e_{i} = \mathbf{c}_{i}^{T}\left(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{H}\right) \varepsilon$ для подходящего вектора $\mathbf{c}_{i}$.

Покажите, что $(n-p)^{-1} r_{i}^{2}$ можно записать в виде

где $\mathbf{Q} = \left(1-h_{i}\right)^{-1}\left(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{H}\right) \mathbf{c}_{i} \mathbf{c}_{i}^{T}\left(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{H}\right)$ и $\mathbf{Z} \sim N_{n}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{n}\right)$.

Докажите, что $\mathbf{Q}$ является матрицей проектирования (т.е. покажите, что $\mathbf{Q}^{2} = \mathbf{Q}$ и $\mathbf{Q}^{T} = \mathbf{Q}$).

Покажите, что $\left(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{H}\right)-\mathbf{Q}$ является матрицей проектирования, и докажите, что $\mathbf{Z}^{T} \mathbf{Q Z}$ и $\mathbf{Z}^{T}\left(\left(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{H}\right)-\mathbf{Q}\right) \mathbf{Z}$ независимы. Отсюда докажите, что $(n-p)^{-1} r_{i}^{2}$ имеет бета-распределение $\left[\frac{1}{2}, \frac{1}{2}(n-p-1)\right]$.