9

Вариация траекторий броуновского движения

[8/100%]
Показать
LaTeX
Задача 9.1

Пусть (Πn)n⩾1\left(\Pi_{n}\right)_{n \geqslant 1} — последовательность измельчающихся (т.е. Πn⊂Πn+1)\left.\Pi_{n} \subset \Pi_{n+1}\right) разбиений [0,1][0,1] таких, что lim⁡n→∞∣Πn∣=0\lim_{n \rightarrow \infty }\left|\Pi_{n}\right| = 0. Покажите, что для всякой функции f∈C[0,1]f \in \mathcal{C}[0,1] предел

lim⁡n→∞S1Πn(f;[0,1])=VAR⁡1(f;[0,1]):=sup⁡{S1Π(f;[0,1]):Π конечное разбиение [0,1]} \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty } S_{1}^{\Pi _{n}}(f ;[0,1]) & = \operatorname {VAR}_{1}(f ;[0,1]) \\ & : = \sup \left\{ S_{1}^{\Pi }(f ;[0,1]): \Pi \text{ конечное разбиение }[0,1]\right\} \end{aligned}

существует в [0,∞][0, \infty ] (и, в частности, не зависит от последовательности (Πn)n⩾1\left(\Pi_{n}\right)_{n \geqslant 1}).

?
Примечание.
?

Непрерывность ff существенна: контрпримером служит разрывная функция Дирихле f=  1Q∩[0,1]f=\; \mathbb {1}_{\mathbb {Q}\cap [0,1]} с (Πn)n(\Pi_{n})_{n} — измельчающейся последовательностью разбиений, составленных из рациональных точек.

Задача 9.2

Пусть f=(g,h):[0,∞)→R2f = (g, h):[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}^{2} и p>0p > 0. Покажите, что VAR⁡p(f;[0,t])<∞\operatorname {VAR}_{p}(f ;[0, t]) < \infty тогда и только тогда, когда VAR⁡p(g;[0,t])+VAR⁡p(h;[0,t])<∞\operatorname {VAR}_{p}(g ;[0, t])+\operatorname {VAR}_{p}(h ;[0, t]) < \infty.

?
Задача 9.3

Пусть f∈C[0,1]f \in \mathcal{C}[0,1]. Для всякого разбиения Π={t0=0<t1<⋯<tn=1}\Pi = \left\{ t_{0} = 0 < t_{1} < \cdots < t_{n} = 1\right\} и ϵ>0\epsilon > 0 найдётся некоторое рациональное разбиение Π′={q0=0<q1<⋯<qn=1}\Pi^{\prime } = \left\{ q_{0} = 0 < q_{1} < \cdots < q_{n} = 1\right\} такое, что

∑j=0n∣f(tj)−f(qj)∣p⩽ϵ \sum _{j = 0}^{n}\left|f\left(t_{j}\right) - f\left(q_{j}\right)\right|^{p} \leqslant \epsilon

Выведите отсюда, что VAR⁡p(f;[0,1])\operatorname {VAR}_{p}(f ;[0,1]) можно вычислять по рациональным точкам.

?
Примечание.
?

Альтернативный подход: отображение (ξ1,…,ξn)↦∑j=1n∣f(ξj)−f(ξj−1)∣p(\xi_{1},\ldots ,\xi_{n})\mapsto \sum_{j=1}^{n}\left|f(\xi_{j})-f(\xi_{j-1})\right|^{p} непрерывно (конечная сумма и композиция непрерывных отображений), а Q\mathbb {Q} плотно в R\mathbb {R} — что даёт альтернативный путь к тому же заключению.

Задача 9.4

Пусть ff непрерывна. Покажите, что на конечность VAR⁡p(f;[0,t])\operatorname {VAR}_{p}(f ;[0, t]) и числовое значение var⁡p(f;[0,t])\operatorname {var}_{p}(f ;[0, t]) не влияет ограничение рассмотрения разбиениями, не содержащими концы 0 и tt отрезка. (В этом случае мелкость нужно определять как мелкость Π∪{0,t}\Pi \cup \left\{ 0, t\right\}).

?
Задача 9.5

Пусть (B(t))t⩾0(B(t))_{t \geqslant 0} — одномерное броуновское движение. Рассмотрим случайные величины Yn:=∑k=1n(B(kn)−B(k−1n))2Y_{n}: = \sum_{k = 1}^{n}\left(B\left(\frac{k}{n}\right) - B\left(\frac{k - 1}{n}\right)\right)^{2}.

?
(a)

Найдите EYn\mathbb {E} Y_{n} и VYn\mathbb {V} Y_{n}.

(b)

Определите плотность вероятности YnY_{n}.

(c)

Найдите характеристическую функцию ϕn(ξ)=EeiξYn,ξ∈R\phi_{n}(\xi ) = \mathbb {E} e^{i \xi Y_{n}}, \xi \in \mathbb {R}, и определите предел lim⁡n→∞ϕn(ξ)\lim_{n \rightarrow \infty } \phi_{n}(\xi ).

(d)

Покажите, что lim⁡E[(Yn−c)2]=0\lim \mathbb {E}\left[\left(Y_{n} - c\right)^{2}\right] = 0, и определите константу cc.

Задача 9.6

Покажите, что BM1\mathrm{BM}^{1} почти наверное не является 1/21 / 2 - гёльдеровски непрерывным:

?
(a)

Для всех Z∼N(0,1)Z \sim \mathrm{N}(0,1) и x>0x > 0 имеем

12πxe−x2/2x2+1<P(Z>x)<12πe−x2/2x. \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \frac{x e^{ - x^{2} / 2}}{x^{2}+1} < \mathbb {P}\left(Z > x\right) < \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \frac{e^{ - x^{2} / 2}}{x} .
(b)

Определим Ak,n:={∣B((k+1)2−n)−B(k2−n)∣>cn2−n}A_{k, n}: = \left\{ \left|B\left((k+1) 2^{ - n}\right) - B\left(k 2^{ - n}\right)\right| > c \sqrt{n 2^{ - n}}\right\} и покажите, что для каждого c<2log⁡2c < \sqrt{2 \log 2} выполнено P(lim⁡‾n→∞⋃k=02n−1Ak,n)=1\mathbb {P}\left(\overline{\lim }_{n \rightarrow \infty } \bigcup_{k = 0}^{2^{n} - 1} A_{k, n}\right) = 1. Для этого используйте нижнюю оценку из a) и рассмотрите дополнение множества lim‾⁡n→∞⋃k=02n−1Ak,n\varlimsup_{n \rightarrow \infty } \bigcup_{k = 0}^{2^{n} - 1} A_{k, n}.

(c)

Заключите из предыдущего пункта, что BM1\mathrm{BM}^{1} п.н. не является 1/21 / 2 - гёльдеровски непрерывным.

Задача 9.7

Пусть X∼N(0,1)X \sim \mathrm{N}(0,1). Покажите, что для каждого λ0∈(0,12)\lambda_{0} \in \left(0, \frac{1}{2}\right) существует константа C=C(λ0)C = C\left(\lambda_{0}\right) такая, что sup⁡λ⩽λ0E[(X2−1)2e∣λ∣(X2−1)]⩽C<∞\sup_{\lambda \leqslant \lambda_{0}} \mathbb {E}\left[\left(X^{2} - 1\right)^{2} e^{\left|\lambda \right|\left(X^{2} - 1\right)}\right] \leqslant C < \infty.

?
Задача 9.8

Пусть XX — вещественнозначная случайная величина на (Ω,A,P)(\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}), а F⊂A\mathscr {F} \subset \mathscr {A} — σ\sigma - алгебра. Покажите, что

X  ⊥ ⁣ ⁣ ⁣⊥  F⟺∀ξ∈R,F∈F:E[eiξX  1F]=E[eiξX]P(F). X \; \perp \! \! \! \perp \; \mathscr {F} \Longleftrightarrow \forall \xi \in \mathbb {R}, F \in \mathscr {F}: \mathbb {E}\left[e^{i \xi X} \; \mathbb {1}_{F}\right] = \mathbb {E}\left[e^{i \xi X}\right] \mathbb {P}\left(F\right) .
?