Связь с уравнениями в частных производных

Пусть $f$ — начальное значение в задаче, рассмотренной в лемме 8.1, и запишем $u(t, x): = P_{t} f(x) = \mathbb {E} f\left(B_{t}+x\right)$, где $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — BM ${ }^{d}$.

Предположим, что в лемме 8.1 начальное данное удовлетворяет $f \in \mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$, но не обязательно $f \in \mathfrak {D}(A)$. Рассмотрите (8.3) с $P_{\epsilon } f$ вместо $f$. Обсудите предел $\epsilon \rightarrow 0$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{d}$, $f: \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция такая, что $\int_{0}^{t} f\left(B_{s}\right) d s = 0$ для всех $t > 0$. Покажите, что $f\left(B_{s}\right) = 0$ для всех $s > 0$, и заключите, что $f \equiv 0$.

Завершите аргумент приближения для арксинус-закона Леви из $\S 8.9$:

Докажите теорему 8.5 методами полугрупп.

Найдите решение задачи Дирихле в размерности $d = 1$: $u^{\prime \prime }(x) = 0$ для всех $x \in (0,1)$, $u(0) = a$, $u(1) = b$, и $u$ непрерывна на $[0,1]$. Сравните ваш результат с тождествами Вальда, см. теорему 5.10 и следствие 5.11.

Используя лемму 7.33, дайте альтернативный вывод результата леммы 8.10.

Покажите, что лемма 8.10 остаётся верной для любого $d$-мерного феллеровского процесса $X_{t}$ с непрерывными траекториями и генератором $L = \sum_{j, k = 1}^{d} a_{j k}(x) \partial_{j} \partial_{k}+\sum_{j = 1}^{d} b_{j}(x) \partial_{j}$ таким, что $a_{11}(x) \geqslant a_{0} > 0$ и $\left|b_{1}(x)\right| \leqslant b_{0} < \infty$.

Таблица 8.1, № 2, приводит решение задачи Коши (8.6). Объясните, как этот результат следует из наших рассуждений относительно (8.3) и (8.7).

Пусть $g:[0, \infty ) \times \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная непрерывная функция такая, что $g(t, \cdot )$ является $\kappa$-гёльдеровой с константой Гёльдера, не зависящей от $t$ или $x$. Повторите доказательство леммы 8.7, чтобы показать, что $v(t, x): = \mathbb {E}^{x}\left(\int_{0}^{t} g\left(t - s, B_{s}\right) d s\right)$ лежит в $\mathcal{C}^{1,2}\left((0, \infty ) \times \mathbb {R}^{d}\right) \cap \mathcal{C}_{b}\left([0, \infty ) \times \mathbb {R}^{d}\right)$ и удовлетворяет (8.1). Объясните, почему это доказывает, при подходящих предположениях на $g(t, x)$, № 3 в таблице 8.1.

Используя ЗПЛ (следствие 12.2), дайте альтернативное доказательство того факта, что одномерное броуновское движение бесконечно часто колеблется на каждом промежутке времени $[0, \epsilon ]$ вокруг своей начальной точки.

Пусть $d \geqslant 2$. Плоский конус в $\mathbb {R}^{d}$ — это конус в $\mathbb {R}^{d - 1}$. Адаптируйте рассуждение из примера 8.18.e), чтобы показать следующий полезный критерий регулярности для $\mathrm{BM}^{d}$: граничная точка $x_{0}$ регулярна для $D^{c}$, если существует усечённый плоский конус с вершиной в $x_{0}$, лежащий целиком в $D^{c}$.

Пусть $(b, \beta )$ — $\mathrm{BM}^{2}$ и $\sigma_{n} = \inf \left\{ t > 1 / n: b(t) = 0\right\}$. Покажите, что случайная величина $\beta \left(\sigma_{n}\right)$ имеет плотность вероятности.