Банк задач по математике

Задача 7.1

Покажите, что $\mathcal{C}_{\infty }: = \left\{ u: \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {R} \text{ непрерывна и } \lim_{\left|x\right| \rightarrow \infty } u(x) = 0\right\}$ с равномерной топологией является банаховым пространством. Покажите, что в этой топологии $\mathcal{C}_{\infty }$ является замыканием $\mathcal{C}_{c}$ , т.е. семейства непрерывных функций с компактным носителем.

?

Задача 7.2

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{d}$ с переходной полугруппой $\left(P_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ . Покажите, используя аргументы, аналогичные приведённым в доказательстве предложения 7.3.f), что $(t, x, u) \mapsto P_{t} u(x)$ непрерывно. Как обычно, снабдим $[0, \infty ) \times \mathbb {R}^{d} \times \mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ нормой $\left|t\right|+\left|x\right|+\left\| u\right\|_{\infty }$ .

?

Задача 7.3

Пусть $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $d$ - мерный феллеровский процесс, и пусть $f, g \in \mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ . Покажите, что функция $x \mapsto \mathbb {E}^{x}\left(f\left(X_{t}\right) g\left(X_{t+s}\right)\right)$ также принадлежит $\mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ .

?

Задача 7.4

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{d}$ , и положим $u(t, x): = P_{t} u(x)$ . Адаптируйте доказательство предложения 7.3.g) и покажите, что для $u \in \mathcal{B}_{b}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ функция $u(t, \cdot ) \in \mathcal{C}^{\infty }$ и $u \in \mathcal{C}^{1,2}$ (т.е. один раз непрерывно дифференцируема по $t$ , дважды непрерывно дифференцируема по $x$ ).

?

Задача 7.5

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\left(P_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — переходная полугруппа $\mathrm{BM}^{d}$ , и обозначим через $L^{p}, 1 \leqslant p < \infty$ , пространство функций, интегрируемых в $p$ -й степени относительно меры Лебега на $\mathbb {R}^{d}$ . Положим $u_{n}: = ( - n) \vee u \wedge n$ для каждого $u \in L^{p}$ . Проверьте, что

?

(a)

$u_{n} \in \mathcal{B}_{b}\left(\mathbb {R}^{d}\right) \cap L^{p}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ и $L^{p} - \lim_{n \rightarrow \infty } u_{n} = u$ .

(b)

$\widetilde{P}_{t} u: = \lim_{n \rightarrow \infty } P_{t} u_{n}$ продолжает $P_{t}$ и задаёт сжимающую полугруппу на $L^{p}$ .

(c)

$\widetilde{P}_{t}$ субмарковская, т.е. если $u \in L^{p}$ и $0 \leqslant u \leqslant 1$ п.в., то $0 \leqslant \widetilde{P}_{t} u \leqslant 1$ п.в.

(d)

$\widetilde{P}_{t}$ сильно непрерывна, т.е. $\lim_{t \rightarrow 0}\left\| \widetilde{P}_{t} u - u\right\|_{L^{p}} = 0$ для всех $u \in L^{p}$ .

Задача 7.6

Пусть $\left(T_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — марковская полугруппа, заданная формулой $T_{t} u(x) = \int_{\mathbb {R}^{d}} u(y) p_{t}(x, d y)$ , где $p_{t}(x, C)$ — ядро в смысле замечания 7.6. Покажите, что свойство полугруппы для $\left(T_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ влечёт уравнения Чепмена - Колмогорова

p_{t+s}(x, C) = \int p_{t}(y, C) p_{s}(x, d y) \quad \text{ для всех } \quad x \in \mathbb {R}^{d} \quad \text{ и } \quad C \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{d}\right)

?

Задача 7.7

Покажите, что $p_{t_{1}, \ldots , t_{n}}^{x}\left(C_{1} \times \cdots \times C_{n}\right)$ из замечания 7.6 задают меры на $\mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{d \cdot n}\right)$ .

?

Задача 7.8

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $d(x, A): = \inf_{a \in A}\left|x - a\right|$ — расстояние между точкой $x \in \mathbb {R}^{d}$ и множеством $A \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ . Покажите, что отображение $x \mapsto d(x, A)$ непрерывно.

(b)

Пусть $u_{n}$ — как в (7.7). Покажите, что $u_{n} \in \mathcal{C}_{c}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ и $\inf_{n} u_{n}(x) = \; \mathbb {1}_{K}(x)$ . Нарисуйте картинку для случая $d = 1$ и $K = [0,1]$ .

(c)

Пусть $\chi_{n}$ — последовательность типа $\delta$ , т.е. $\chi_{n} \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ , $\operatorname {supp} \chi_{n} \subset \mathbb {B}(0,1 / n), \chi_{n} \geqslant 0$ и $\int \chi_{n}(x) d x = 1$ . Покажите, что $v_{n}: = \chi_{n} \star u_{n} \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ — гладкие функции, такие что $\lim_{n \rightarrow \infty } v_{n} = \; \mathbb {1}_{K}$ .

Задача 7.9

(a)(b)(c)

Пусть $\left(T_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — феллеровская полугруппа, т.е. сильно непрерывная, сохраняющая положительность субмарковская полугруппа на $\left(\mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right),\left\| \cdot \right\|_{\infty }\right)$ , ср. замечание 7.4.

?

(a)

Покажите, что $(t, x) \mapsto T_{t} u(x)$ совместно непрерывна по $t \geqslant 0$ и $x \in \mathbb {R}^{d}$ .

(b)

Заключите, что для любого компактного множества $K \subset \mathbb {R}^{d}$ функция $(t, x) \mapsto T_{t} \; \mathbb {1}_{K}(x)$ измерима.

(c)

Покажите, что $(t, x, u) \mapsto T_{t} u(x)$ совместно непрерывна по всем $t \geqslant 0, x \in \mathbb {R}^{d}$ и $u \in \mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ .

Задача 7.10

(a)(b)(c)(d)

Пусть $A, B \in \mathbb {R}^{d \times d}$ и положим $P_{t}: = \exp (t A): = \sum_{j = 0}^{\infty }(t A)^{j} / j$ !.

?

(a)

Покажите, что $P_{t}$ — сильно непрерывная полугруппа. Является ли она сжимающей?

(b)

Покажите, что $\frac{d}{d t} e^{t A}$ существует и что $\frac{d}{d t} e^{t A} = A e^{t A} = e^{t A} A$ .

(c)

Покажите, что $e^{t A} e^{t B} = e^{t B} e^{t A} \forall t \Longleftrightarrow A B = B A$ .

(d)

(Формула Троттера для произведения) Покажите, что $e^{A+B} = \lim_{k \rightarrow \infty }\left(e^{A / k} e^{B / k}\right)^{k}$ .

Задача 7.11

(a)(b)(c)

Пусть $\left(P_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ и $\left(T_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — две феллеровские полугруппы с генераторами $(A, \mathfrak {D}(A))$ и $(B, \mathfrak {D}(B))$ соответственно.

?

(a)

Если $\mathfrak {D}(B) \subset \mathfrak {D}(A)$ , то на $\mathfrak {D}(B)$ выполняется $\frac{d}{d s} P_{t - s} T_{s} = - P_{t - s} A T_{s}+P_{t - s} B T_{s}$ .

(b)

Возможно ли, что $U_{t}: = T_{t} P_{t}$ снова является феллеровской полугруппой?

(c)

(Формула Троттера для произведения) Предположим, что $U_{t} f: = \lim_{n \rightarrow \infty }\left(T_{t / n} P_{t / n}\right)^{n} f$ существует в сильном смысле и локально равномерно по $t$ . Покажите, что $U_{t}$ — феллеровская полугруппа, и найдите её генератор.

Задача 7.12

(a)(b)(c)

Завершите следующее альтернативное рассуждение для примера 7.16. Предположим, что $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1} \subset \mathcal{C}_{\infty }^{2}(\mathbb {R})$ таковы, что $\left(\frac{1}{2} u_{n}^{\prime \prime }\right)_{n \geqslant 1}$ — последовательность Коши в $\mathcal{C}_{\infty }$ и что $u_{n}$ сходится к $u$ равномерно.

?

(a)

Покажите, что $u_{n}(x) - u_{n}(0) - x u_{n}^{\prime }(0) = \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} u_{n}^{\prime \prime }(z) d z d y \rightarrow \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} 2 g(z) d z d y$ равномерно. Заключите, что $c^{\prime }: = \lim_{n \rightarrow \infty } u_{n}^{\prime }(0)$ существует.

(b)

Покажите, что $u_{n}^{\prime }(x) - u_{n}^{\prime }(0) \rightarrow \int_{0}^{x} 2 g(z) d z$ равномерно. Выведите отсюда и из пункта a), что $u_{n}^{\prime }(x)$ сходится равномерно к $\int_{0}^{x} 2 g(z) d z+c^{\prime }$ , где $c^{\prime } = \int_{ - \infty }^{0} 2 g(z) d z$ .

(c)

Используя a) и b), покажите, что $u_{n}(x) - u_{n}(0) \rightarrow \int_{0}^{x} \int_{ - \infty }^{y} 2 g(z) d z$ равномерно, и обоснуйте, что $u_{n}(x)$ имеет равномерный предел $\int_{ - \infty }^{x} \int_{ - \infty }^{y} 2 g(z) d z d y$ .

Задача 7.13

Пусть $U_{\alpha }$ — $\alpha$ -потенциальный оператор $\mathrm{BM}^{d}$ . Дайте вероятностную интерпретацию $U_{\alpha } \; \mathbb {1}_{C}$ и $\lim_{\alpha \rightarrow 0} U_{\alpha } \; \mathbb {1}_{C}$ , если $C \subset \mathbb {R}^{d}$ — борелевское множество.

?

Задача 7.14

Пусть $U_{0}$ — потенциальный оператор $\mathrm{BM}^{d}$ в размерности $d = 1$ или $d = 2$ . Покажите, что всякая $u \in \mathfrak {D}\left(U_{0}\right)$ , такая что $u \geqslant 0$ , тривиальна, т.е. $u = 0$ .

?

Задача 7.15

Пусть $\left(U_{\alpha }\right)_{\alpha > 0}$ — $\alpha$ -потенциальный оператор $\mathrm{BM}^{d}$ . Используя резольвентное уравнение, докажите следующие формулы для $f \in \mathcal{B}_{b}$ и $x \in \mathbb {R}^{d}$ :

\frac{d^{n}}{d \alpha ^{n}} U_{\alpha } f(x) = n !( - 1)^{n} U_{\alpha }^{n+1} f(x)

и

\frac{d^{n}}{d \alpha ^{n}}\left(\alpha U_{\alpha }\right) f(x) = n !( - 1)^{n+1}\left(\mathrm{id} - \alpha U_{\alpha }\right) U_{\alpha }^{n} f(x)

?

Задача 7.16

Пусть $\left(f_{n}\right)_{n \geqslant 1} \subset \mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ — последовательность функций, такая что $0 \leqslant f_{n} \leqslant f_{n+1}$ и $f: = \sup_{n} f_{n} \in \mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ . Покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| f - f_{n}\right\|_{\infty } = 0$ .

?

Примечание.

?

На самом деле условие положительности не требуется. Если вместо этого $f_{1} \leqslant f_{2} \leqslant \cdots \leqslant f_{n} \leqslant \cdots$ , $f_{n}\in \mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ произвольного знака, и $f=\sup_{n}f_{n}$ , то по теореме Дини $\lim_{n\rightarrow \infty }\sup_{x\in K}\left|f(x)-f_{n}(x)\right|=0$ для любого компакта $K\subset \mathbb {R}^{d}$ ; фиксируя $\varepsilon >0$ и компакт $K_{\varepsilon }$ с $-\varepsilon \leqslant f_{1}(x)\leqslant f_{n}(x)\leqslant f(x)\leqslant \varepsilon$ на $\mathbb {R}^{d}\setminus K_{\varepsilon }$ , получаем $\limsup_{n}\sup_{x}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \limsup_{n}\sup_{x\in K_{\varepsilon }}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|+\limsup_{n}\sup_{x\notin K_{\varepsilon }}(f(x)-f_{n}(x)) \leqslant 0+2\varepsilon \leqslant 3\varepsilon$ , т.е. то же заключение верно и без предположения положительности. (В качестве альтернативы: примените рассуждение для положительного случая к $g_{n}:=f_{n}-f_{1}$ , используя $0\leqslant g_{n}\leqslant g_{n+1}$ и $\sup_{n}g_{n}=f-f_{1}$ .)

Задача 7.17

Пусть $(A, \mathfrak {D}(A))$ — генератор $\mathrm{BM}^{d}$ . Адаптируйте рассуждения примера 7.25 и покажите, что $\mathcal{C}_{\infty }^{2}\left(\mathbb {R}^{d}\right) \varsubsetneqq \mathfrak {D}(A)$ для любой размерности $d \geqslant 3$ . Указание. Используйте в примере $7.25$ $d$ -мерные полярные координаты: $y_{1} = r \sin \phi \sin \theta_{1} \cdot \ldots \cdot \sin \theta_{d - 2}, y_{2} = r \cos \phi \sin \theta_{1} \cdot \ldots \cdot \sin \theta_{d - 2}, \ldots y_{d - 1} = r \cos \theta_{d - 3} \cdot \sin \theta_{d - 2}$ , $y_{d} = r \cos \theta_{d - 2}$ , где $\left(r, \phi , \theta_{1}, \ldots , \theta_{d - 2}\right) \in (0, \infty ) \times (0,2 \pi ) \times (0, \pi )^{d - 2}$ .

Функциональный определитель равен

r^{d - 1}\left(\sin \theta _{1}\right)^{1}\left(\sin \theta _{2}\right)^{2} \ldots \left(\sin \theta _{d - 2}\right)^{d - 2}

Вычисления приведут к следующим интегралам $(\left|x\right| < 1)$

\int _{0}^{\pi } \frac{(\sin \theta )^{d - 2}}{\left(1+x^{2} - 2 x \cos \theta \right)^{(d - 2) / 2}} d \theta \text{ и } \int _{0}^{\pi } \frac{(\sin \theta )^{d}}{\left(1+x^{2} - 2 x \cos \theta \right)^{(d - 2) / 2}} d \theta

значения которых равны $a_{d}$ и $b_{d} x^{2}+c_{d}$ соответственно, с константами $a_{d}, b_{d}, c_{d} \in \mathbb {R}$ , зависящими от размерности, ср. Gradshteyn - Ryzhik [101, 3.665.2, p. 384].

Замечание. Простое вычисление интегралов ${ }^{\star }$ ) возможно только при $d = 3$ . Для $d > 3$ эти интегралы наиболее изящно вычисляются с помощью многочленов Гегенбауэра, ср. [101, 8.93, pp. 1029 - 1031] и обсуждение на stack exchange http://math.stackexchange.com/questions/395336.

?

Задача 7.18

(a)(b)(c)

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$ , и рассмотрим двумерный процесс $X_{t}: = \left(t, B_{t}\right), t \geqslant 0$ .

?

(a)

Покажите, что $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — феллеровский процесс.

(b)

Определите его переходную полугруппу, резольвенту и генератор.

(c)

Сформулируйте и докажите теорему 7.30 для этого процесса и сравните результат с теоремой 5.6

Задача 7.19

Покажите, что формула Дынкина (7.30) в предложении 7.31 следует из теоремы 7.30.

?

Задача 7.20

Пусть $t \mapsto X_{t}$ — непрерывный справа стохастический процесс. Покажите, что для замкнутых множеств $F$

\mathbb {P}\left(X_{t} \in F \quad \forall t \in \mathbb {R}^{+}\right) = \mathbb {P}\left(X_{q} \in F \quad \forall q \in \mathbb {Q}^{+}\right)

?

Задача 7.21

(a)(b)(c)(d)

Предположим, что $L: \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right) \rightarrow \mathcal{C}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ — локальный оператор (ср. определение 7.36), почти положительный, т.е. для всех $\phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }$ , таких что $\phi \geqslant 0$ и $\phi \left(x_{0}\right) = 0$ , выполняется $L \phi \left(x_{0}\right) \geqslant 0$ .

?

(a)

Покажите, что оператор, удовлетворяющий принципу положительного максимума, почти положителен. (Локальность здесь не требуется.)

(b)

Покажите, что $\operatorname {supp} L \phi \subset \operatorname {supp} \phi$ .

(c)

Покажите, что оператор $L$ имеет порядок два, т.е. $\left\| L \phi \right\|_{\infty } \leqslant C\left\| \phi \right\|_{(2)}$ выполняется для всех $\phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(K)$ и любого компактного множества $K \subset \mathbb {R}^{d}$ . Здесь $\left\| \phi \right\|_{(2)} = \sum_{0 \leqslant \left|\alpha \right| \leqslant 2}\left\| \partial^{\alpha } \phi \right\|_{\infty }$ , а константа $C$ зависит только от $K$ .

(d)

Используя теорему 7.37, заключите, что $L$ — дифференциальный оператор порядка $\leqslant 2$ .

Броуновское движение и переходные полугруппы