Броуновское движение как марковский процесс

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$.

Сравните (последнюю часть) первого ("пешеходного") доказательства теоремы 6.5 с характеризацией броуновского движения по лемме 5.4. Можете ли вы придумать способ использовать эту лемму вместо прямого вычисления?

Предположим, что $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — равномерно ограниченный стохастический процесс с исключительно непрерывными траекториями, $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — некоторая фильтрация, а $\sigma$ — всюду конечный момент остановки.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — броуновское движение на пространстве $\left(\mathcal{C}, \mathscr {B}(\mathcal{C}), \mathbb {P}^{0}\right)$. (Канонический) оператор сдвига — это отображение $\theta_{h}: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}, \theta_{h} w(\cdot ) = w(\cdot +h)$, т.е. $\left(\theta_{h} w\right)(t) = w(t+h)$. Кроме того, определим $\mathscr {F}_{t} = \mathscr {F}_{[0, t]} = \sigma \left(B_{s}, s \in [0, t]\right)$ и $\mathscr {F}_{[t, \infty )} = \sigma \left(B_{s}, s \geqslant t\right), \quad t \in [0, \infty ]$.

Если $\sigma$ — момент остановки для $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$, конечный для всех $w$, то случайный сдвиг определяется как $\left(\theta_{\sigma } w\right)(t): = \left(\theta_{\sigma (w)} w\right)(t) = w(t+\sigma (w))$.

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, и положим $M_{t}: = \sup_{s \leqslant t} B_{s}$ и $I_{t} = \int_{0}^{t} B_{s} d s$.

Пусть $(B(t))_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{d}$, и пусть $Z$ — ограниченная $\mathscr {F}_{\infty }^{B}$-измеримая случайная величина. Тогда $x \mapsto \mathbb {E}^{x} Z$ принадлежит $\mathcal{B}_{b}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$.

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$ такое, что $\mathscr {F}_{0}$ содержит все измеримые нулевые множества, и пусть $\tau$ — момент остановки. Покажите, что $B_{\tau }$ измеримо относительно $\mathscr {F}_{\tau +}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(\sup_{s \leqslant t}\left|B_{s}\right| \geqslant x\right) \leqslant 2 \mathbb {P}\left(\left|B_{t}\right| \geqslant x\right), x, t \geqslant 0$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, и обозначим через $\tau_{b} = \inf \left\{ s \geqslant 0: B_{s} = b\right\}$ момент первого достижения $B_{t}$ уровня $b \in \mathbb {R}$. Покажите, что

Пусть $\tau = \tau_{(a, b)^{c}}^{\circ }$ — момент первого выхода броуновского движения из интервала $(a, b)$.

Пусть $W = \left(W_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{2}$ такое, что $W_{0} = (a, b)$ с $a, b > 0$. Какова вероятность того, что $W_{t}$ достигнет сначала положительной части оси $x$, прежде чем достигнет отрицательной части?

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, и положим $M_{t}: = \sup_{s \leqslant t} B_{s}$. Найдите распределение $\left(M_{t}, B_{t}\right)$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, и пусть $\tau_{0}$ — момент первого достижения нуля. Найдите "плотность" $\mathbb {P}^{x}\left(B_{t} \in d z, \tau_{0} > t\right)$, т.е. найдите функцию $f_{t, x}(z)$ такую, что

Пусть $K \subset \mathbb {R}^{d}$ — компактное множество. Покажите, что существует убывающая последовательность непрерывных функций $\phi_{n}(x)$ такая, что $\; \mathbb {1}_{K} = \inf_{n} \phi_{n}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$. Найдите распределение $\widetilde{\xi }_{t}: = \inf \left\{ s \geqslant t: B_{s} = 0\right\}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, и положим $M_{t} = \sup_{s \leqslant t} B_{s}$. Обозначим через $\xi_{t}$ наибольший нуль $B_{s}$ до момента $t$, а через $\eta_{t}$ — наибольший нуль $Y_{S} = M_{s} - B_{s}$ до момента $t$. Покажите, что $\xi_{t} \sim \eta_{t}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$ и $0 < u < v < w < \infty$. Найдите следующие вероятности: