Броуновское движение как мартингал

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{d}$, и предположим, что $X$ — $d$ - мерная случайная величина, независимая от $\mathscr {F}_{\infty }^{B}$.

Пусть $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — допустимая фильтрация для броуновского движения $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$. Повторите доказательство леммы 2.14 и покажите, что $\mathscr {F}_{t} \; \perp \! \! \! \perp \; \mathscr {F}_{[t, \infty )}^{W}: = \sigma \left(B_{u} - B_{t}: u \geqslant t\right)$ для каждого $t > 0$.

Пусть $\left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — мартингал, и обозначим через $\mathscr {F}_{t}^{*}$ пополнение $\mathscr {F}_{t}$ (пополнение означает добавление всех подмножеств $\mathbb {P}$ - нулевых множеств).

Пусть $\left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — субмартингал с непрерывными траекториями и $\mathscr {F}_{t+} = \bigcap_{u > t} \mathscr {F}_{u}$. Покажите, что $\left(X_{t}, \mathscr {F}_{t+}\right)_{t \geqslant 0}$ снова субмартингал.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$. Найдите многочлен $\pi (t, x)$ от $x$ и $t$, который является многочленом 4-й степени по переменной $x$, такой что $\pi \left(t, B_{t}\right)$ — мартингал.

Эта задача содержит рецепт получения «полиномиальных» мартингалов со старшим членом $B_{t}^{n}$, где $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{d}$. Найдите все $c \in \mathbb {R}$, при которых $\mathbb {E} e^{c\left|B_{t}\right|}$ и $\mathbb {E} e^{c\left|B_{t}\right|^{2}}$ конечны.

Пусть $p(t, x) = (2 \pi t)^{ - d / 2} \exp \left( - \left|x\right|^{2} /(2 t)\right), x \in \mathbb {R}^{d}, t > 0$ — переходная плотность $d$ - мерного броуновского движения.

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$. Покажите, что $X_{t} = \exp \left(a B_{t}+b t\right), t \geqslant 0$, является мартингалом тогда и только тогда, когда $a^{2} / 2+b = 0$.

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — одномерное броуновское движение. Какие из следующих процессов являются мартингалами?

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — одномерное броуновское движение и $f \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb {R})$. Покажите, что $M_{t}: = f(t) B_{t} - \int_{0}^{t} f^{\prime }(s) B_{s} d s$ является мартингалом.

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{d}$. Покажите, что $X_{t} = \frac{1}{d}\left|B_{t}\right|^{2} - t, t \geqslant 0$, является мартингалом.

Пусть $\left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $d$ - мерный стохастический процесс и $A, A_{n}, C \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{d}\right), n \geqslant 1$. Тогда

Пусть $U \subset \mathbb {R}^{d}$ — открытое множество, и предположим, что $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — стохастический процесс с непрерывными траекториями. Покажите, что $\tau_{U} = \tau_{U}^{\circ }$.

Покажите, что функция $d(x, A): = \inf_{y \in A}\left|x - y\right|, A \subset \mathbb {R}^{d}$, непрерывна.

Пусть $\left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — вещественнозначный процесс, траектории $t \mapsto X_{t}(\omega )$ которого (п.н.) непрерывны справа и имеют конечные пределы слева (это свойство часто называют "кадлаг"). Предположим дополнительно, что $X$ квазинепрерывен слева, т.е. для всякой последовательности моментов остановки $\left(\tau_{n}\right)_{n \geqslant 1}$, возрастающей к моменту остановки $\tau$, имеем $\lim_{n \rightarrow \infty } X_{\tau_{n}} = X_{\tau }$ п.н. на множестве $\left\{ \tau < \infty \right\}$. Покажите, что утверждение леммы 5.8 остаётся справедливым для таких процессов, если фильтрация содержит все подмножества измеримых нулевых множеств.

Предположим, что процессы в лемме 5.7 или в лемме 5.8 являются лишь "почти наверное непрерывными справа", соотв. "почти наверное непрерывными". Укажите все шаги в доказательствах, где это становится существенным, и покажите, что утверждения остаются справедливыми, если фильтрации $\mathscr {F}_{t}^{X}$ и $\mathscr {F}_{t+}^{X}$ пополнены так, что они содержат все подмножества измеримых нулевых множеств.

Пусть $\tau$ — момент остановки. Проверьте, что $\mathscr {F}_{\tau }$ и $\mathscr {F}_{\tau +}$ являются $\sigma$ - алгебрами.

Пусть $\tau$ — момент остановки для фильтрации $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$. Покажите, что

Пусть $\tau : = \tau_{( - a, b)^{c}}^{\circ }$ — момент первого попадания $\mathrm{BM}^{1}$ в множество $( - a, b)^{c}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{d}$. Найдите $\mathbb {E} \tau_{R}$, где $\tau_{R} = \inf \left\{ t \geqslant 0:\left|B_{t}\right| = R\right\}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, а $\sigma , \tau$ — два момента остановки такие, что $\mathbb {E} \tau , \mathbb {E} \sigma < \infty$.

Пусть $B = \left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — каноническое $\operatorname {BM}^{1}$ на винеровском пространстве $(\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}) = \left(\mathcal{C}_{(\mathrm{o})}, \mathscr {B}\left(\mathcal{C}_{(0)}\right), \mu \right)$, и $\mathscr {F}_{t}: = \sigma \left(B_{s}, s \leqslant t\right), \mathscr {F}_{\infty } = \sigma \left(\bigcup_{t \geqslant 0} \mathscr {F}_{t}\right)$ — фильтрация, порождённая $B$. Покажите, что следующие утверждения эквивалентны: