Каноническая модель

Пусть $F: \mathbb {R} \rightarrow [0,1]$ — функция распределения.

Покажите, что существует случайный процесс $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ такой, что случайные величины $X_{t}$ независимы и распределены как $\mathrm{N}(0, t)$. Этот процесс также удовлетворяет

Пусть $S$ — произвольное множество, а $\mathscr {E}$ — семейство подмножеств $S$. Докажите, что

Пусть $\emptyset \neq E \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ содержит не менее двух элементов, и пусть $\emptyset \neq I \subset [0, \infty )$ — произвольное индексное множество. Обозначим через $E^{I}$ произведение пространств $E^{I} = \left\{ f: f: I \rightarrow E\right\}$, которое мы наделяем естественной топологией произведения (т.е. $f_{n} \rightarrow f$ тогда и только тогда, когда $f_{n}(t) \rightarrow f(t)$ для каждого $t \in I)$. Тогда мы можем определить борелевскую $\sigma$ - алгебру $\mathscr {B}\left(E^{I}\right)$ и $\sigma$ - алгебру произведения $\mathscr {B}^{I}(E): = \sigma \left(\pi_{t}: t \in I\right)$, где $\pi_{t}: E^{I} \rightarrow E, \pi_{t}(f): = f(t)$ — каноническая проекция на $t$-ю координату.

Пусть $\mu$ — вероятностная мера на $\left(\mathbb {R}^{d}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{d}\right)\right), v \in \mathbb {R}^{d}$, и рассмотрим $d$-мерный стохастический процесс $X_{t}(\omega ): = \omega +t v, t \geqslant 0$, на вероятностном пространстве $\left(\mathbb {R}^{d}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{d}\right), \mu \right)$. Дайте интерпретацию $X_{t}$, если $\mu = \delta_{x}$ для некоторого $x \in \mathbb {R}^{d}$, и найдите семейство конечномерных распределений $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$.

Пусть $B = \left(B_{t}\right)_{t \in [0,1]}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, и положим $W = \left(W_{t}\right)_{t \in [0,1]}$, где $W_{t}: = B_{t} - t B_{1}$.

Пусть $\left(\mathcal{C}_{(\mathrm{o})}, \mathscr {B}\left(\mathcal{C}_{(\mathrm{o})}\right), \mu \right)$ — каноническое пространство Винера (предполагаем $d = 1$ ). Теперь мы рассмотрим пространство $\mathcal{C}$, снова наделённое метрикой локально равномерной сходимости и борелевской $\sigma$ - алгеброй $\mathscr {B}(\mathcal{C})$. Несложно проверить, что

Лемма 4.1 остаётся справедливой в этом контексте. Определим $B_{t}: \mathcal{C} \rightarrow \mathbb {R}$ как координатную проекцию $B_{t}(w) = w(t)$, где $w \in \mathcal{C}$, и соответствующие $\sigma$ - алгебры

Пусть $h > 0$. (Канонический) оператор сдвига — это отображение $\theta_{h}: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}, \theta_{h} w(\cdot ) = w(\cdot +h)$, т.е. $\left(\theta_{h} w\right)(t) = w(t+h)$.

Продолжим работу с постановкой, введённой в задаче 7. Обозначим через $\left(\mathcal{C}_{(0)}, \mathscr {B}\left(\mathcal{C}_{(0)}\right), \mu \right)$ каноническое пространство Винера и положим $\Omega = \mathcal{C}, \mathscr {A} = \mathscr {B}(\mathcal{C})$, $B_{t}(w) = w(t)$ для $w \in \Omega$, и определим для каждой вероятностной меры $\pi$ на $(\mathbb {R}, \mathscr {B}(\mathbb {R}))$ вероятностную меру $\mathbb {P}^{\pi }$ на $(\Omega , \mathscr {B}(\mathcal{C})$ ), сначала на «цилиндрических множествах»

где $n \in \mathbb {N}_{0}, t_{0} = 0 < t_{1} < \cdots < t_{n}$ и $C_{0}, C_{1}, \ldots , C_{n} \in \mathscr {B}(\mathbb {R})$. Затем мера $\mathbb {P}$ продолжается, по теореме Колмогорова (теорема 4.8), на $\mathscr {B}(\mathcal{C})$.

Пусть $B = \left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — каноническое $\mathrm{BM}^{1}$ на пространстве Винера $(\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}) = \left(\mathcal{C}_{(0)}, \mathscr {B}\left(\mathcal{C}_{(0)}\right), \mu \right)$ и $\mathscr {F}_{t}: = \sigma \left(B_{s}, s \leqslant t\right), \mathscr {F}_{\infty } = \sigma \left(\bigcup_{t \geqslant 0} \mathscr {F}_{t}\right)$ — фильтрация, порождённая $B$. Покажите, что для $F \in \mathscr {F}_{\infty }$ следующие утверждения эквивалентны: