Банк задач по математике

Задача 3.1

Используя представление Леви - Чисельского $B(t) = \sum_{n = 0}^{\infty } G_{n} S_{n}(t), t \in [0,1]$ , получите представление в виде ряда для $X: = \int_{0}^{1} B(t) d t$ и найдите распределение $X$ .

?

Задача 3.2

Пусть $\left(G_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — последовательность независимых одинаково распределённых гауссовских случайных величин $\mathrm{N}(0,1)$ , $\left(\phi_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — полная ортонормированная система в $L^{2}([0,1], d t)$ , $B \in \mathscr {B}[0,1]$ — измеримое множество, и определим $W_{N}(B): = \sum_{n = 0}^{N - 1} G_{n} \left\langle \; \mathbb {1}_{B}, \phi_{n} \right\rangle_{L^{2}}$ .

?

(a)

Покажите, что предел $W(B): = \lim_{N \rightarrow \infty } W_{N}(B)$ существует в $L^{2}(\mathbb {P})$ .

(b)

Найдите $\mathbb {E} W(A) W(B)$ для множеств $A, B \in \mathscr {B}[0,1]$ .

(c)

Покажите, что $B \mapsto \mu (B): = \mathbb {E}\left[\left|W(B)\right|^{2}\right]$ является мерой. Является ли $B \mapsto W(B)$ мерой?

(d)

Пусть $\mathcal{S}$ обозначает все ступенчатые функции вида $f(t): = \sum_{j < \infty } c_{j} \; \mathbb {1}_{B_{j}}(t)$ , где $c_{j} \in \mathbb {R}$ и $B_{j} \in \mathscr {B}[0,1]$ . Покажите, что оператор $I(f): = \sum_{j} c_{j} W\left(B_{j}\right)$ корректно определён (т.е. не зависит от конкретного представления ступенчатой функции).

(e)

Покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|I(f)\right|^{2}\right] = \int \left|f\right|^{2} d \mu$ , и используйте эту изометрию между $L^{2}([0,1], \mu )$ и $L^{2}(\mathbb {P})$ , чтобы продолжить $I$ на все $f \in L^{2}([0,1], \mu )$ .

Замечание. Если взять $B = [0, t]$ , то $W_{t}: = W([0, t]), t \in [0,1]$ , является броуновским движением. Подробнее об этом можно узнать в [231, главы 9, 10].

Задача 3.3

(a)(b)

Пусть $\phi_{n} = H_{n}, n = 0,1,2, \ldots$ , — функции Хаара. Следующие шаги показывают, что полная последовательность $W_{N}(t, \omega ): = \sum_{n = 0}^{N - 1} G_{n}(\omega ) S_{n}(t), N = 1,2, \ldots$ , сходится равномерно для $\mathbb {P}$ - почти всех $\omega \in \Omega$ .

?

(a)

Пусть $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} \subset \mathbb {R}$ — последовательность, удовлетворяющая $a_{n} = O\left(n^{\epsilon }\right)$ для некоторого $\epsilon \in (0,1 / 2)$ . Покажите, что $\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} S_{n}(t)$ сходится абсолютно и равномерно по $t \in [0,1]$ .

(b)

Пусть $\left(G_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин $\mathrm{N}(0,1)$ . Покажите, что почти наверное $\left|G_{n}\right| = O(\sqrt{\log n})$ .

Задача 3.4

Пусть $(S, d)$ — полное метрическое пространство, снабжённое $\sigma$ - алгеброй $\mathscr {B}(S)$ его борелевских множеств. Предположим, что $\left(X_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — последовательность $S$ - значных случайных величин такая, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \sup _{m \geqslant n} \mathbb {E}\left[d\left(X_{n}, X_{m}\right)^{p}\right] = 0

для некоторого $p \in [1, \infty )$ . Покажите, что существует подпоследовательность $\left(n_{k}\right)_{k \geqslant 1}$ и случайная величина $X$ такие, что $\lim_{k \rightarrow \infty } X_{n_{k}} = X$ почти наверное.

?

Примечание.

?

Если гипотезу усилить до $\lim_{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[\sup_{m \geqslant n} d(X_{n}, X_{m})^{p}\right] = 0$ , рассуждение существенно упрощается: это означает, что $d_{n}: = \sup_{m \geqslant n} d(X_{n}, X_{m})^{p}$ сходится к $0$ в $L^{p}(\mathbb {P}; \mathbb {R})$ , так что некоторая подпоследовательность $(n_{k})_{k}$ имеет $\lim_{k \rightarrow \infty } \sup_{m \geqslant n_{k}} d(X_{n_{k}}, X_{m}) = 0$ почти наверное, откуда $d(X_{n_{k}}, X_{n_{l}}) \rightarrow 0$ при $k, l \rightarrow \infty$ ; полнота $S$ тогда непосредственно даёт $X_{n_{k}} \rightarrow X$ .

Задача 3.5

Пусть $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ и $\left(Y_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — два случайных процесса, являющихся модификациями друг друга. Покажите, что они имеют одинаковые конечномерные распределения.

?

Задача 3.6

Пусть $\left(X_{t}\right)_{t \in I}$ и $\left(Y_{t}\right)_{t \in I}$ — два процесса с одним и тем же индексным множеством $I \subset [0, \infty )$ и пространством состояний. Покажите, что

X, Y \text{ неразличимы } \Longrightarrow X, Y \text{ модификации } \Longrightarrow X, Y \text{ эквивалентны. }

Предположим, что процессы заданы на одном и том же вероятностном пространстве, и $t \mapsto X_{t}$ и $t \mapsto Y_{t}$ непрерывны справа (или что $I$ счётно). Верны ли обратные импликации?

?

Задача 3.7

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — вещественнозначный случайный процесс, все траектории которого непрерывны. Предположим, что $\left(B_{q}\right)_{q \in \mathbb {Q} \cap [0, \infty )}$ удовлетворяет (B0) - (B3). Покажите, что $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ является БД.

?

Задача 3.8

Пусть $X^{\prime }, X^{\prime \prime }, Z$ — случайные векторы такие, что $X^{\prime } \; \perp \! \! \! \perp \; X^{\prime \prime }$ и $\left(X^{\prime }, X^{\prime \prime }\right) \; \perp \! \! \! \perp \; Z$ . Покажите, что $X^{\prime }, X^{\prime \prime }, Z$ независимы.

?

Задача 3.9

Дайте прямое доказательство формулы (3.5), используя совместное распределение вероятностей $\left(W\left(t_{0}\right), W(t), W\left(t_{1}\right)\right)$ броуновского движения $W(t)$ .

?

Задача 3.10

Покажите, что существует случайный процесс $\left(W_{t}\right)_{t \in \mathbb {R}}$ , удовлетворяющий (B0) - (B4).

?

Конструкции броуновского движения