О диффузиях

Пусть $(A, \mathfrak {D}(A))$ -- генератор диффузионного процесса в смысле Определения 23.1, и обозначим через $a, b$ коэффициенты диффузии и сноса. Покажите, что $a \in \mathcal{C}\left(\mathbb {R}^{d}, \mathbb {R}^{d \times d}\right)$ и $b \in \mathcal{C}\left(\mathbb {R}^{d}, \mathbb {R}^{d}\right)$.

Покажите, что при предположениях Предложения 23.5 можно поменять местами интегрирование и дифференцирование: $\frac{\partial^{2}}{\partial x_{j} \partial x_{k}} \int p(t, x, y) u(y) d y = \int \frac{\partial^{2}}{\partial x_{j} \partial x_{k}} p(t, x, y) u(y) d y$ и что получающаяся функция принадлежит $\mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$.

Пусть $A: \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right) \rightarrow \mathcal{C}_{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ -- замкнутый оператор такой, что $\left\| A u\right\|_{\infty } \leqslant C\left\| u\right\|_{(2)}$; здесь $\left\| u\right\|_{(2)} = \left\| u\right\|_{\infty }+\sum_{j}\left\| \partial_{j} u\right\|_{\infty }+\sum_{j k}\left\| \partial_{j} \partial_{k} u\right\|_{\infty }$. Покажите, что $\mathcal{C}_{\infty }^{2}\left(\mathbb {R}^{d}\right) = \overline{\mathcal{C}_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)}{ }^{\left\| \cdot \right\|_{(2)}} \subset \mathfrak {D}(A)$.

Пусть $L = L\left(x, D_{x}\right) = \sum_{i j} a_{i j}(x) \partial_{i} \partial_{j}+\sum_{j} b_{j}(x) \partial_{j}+c(x)$ -- дифференциальный оператор второго порядка. Определите его формально сопряжённый оператор $L^{*}\left(y, D_{y}\right)$, т.е. линейный оператор, удовлетворяющий $\left\langle L u, \phi \right\rangle_{L^{2}} = \left\langle u, L^{*} \phi \right\rangle_{L^{2}}$ для всех $u, \phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R}^{d}\right)$. Чему равен формально сопряжённый оператор для $L(x, D)+\frac{\partial }{\partial t}$?

Завершите доказательство Предложения 23.6 (прямое уравнение Колмогорова).

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ -- $\mathrm{BM}^{1}$. Покажите, что $X_{t}: = \left(B_{t}, \int_{0}^{t} B_{s} d s\right)$ -- диффузионный процесс, и найдите его генератор.

Пусть $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ -- диффузионный процесс с инфинитезимальным генератором $L = L(x, D) = \left.A\right|_{\mathcal{C}_{c}^{\infty }}$, как в (23.1). Запишем $M_{t}^{u} = u\left(X_{t}\right) - u\left(X_{0}\right) - \int_{0}^{t} L u\left(X_{r}\right) d r$.

Рассмотрим $\operatorname {ОДУ} \partial_{t} \xi (t, x) = x+b(\xi (t, x)), \xi (0, x) = x$, где $b \in \mathcal{C}_{b}^{2}\left(\mathbb {R}^{d}, \mathbb {R}^{d}\right)$ таково, что $\left|\partial_{x}^{\alpha } b(x)\right|,\left|\alpha \right| = 2$, липшицево. Покажите, что все $\partial_{x}^{\alpha } \xi (t, x),\left|\alpha \right| \leqslant 2$, полиномиально ограничены.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ -- $\mathrm{BM}^{d}$, и обозначим через $\left(X_{t}^{x}\right)_{t \geqslant 0}$ сильное решение СДУ

где $c \in \mathcal{C}_{c}^{2}\left(\mathbb {R}^{d}, \mathbb {R}\right)$. Следующая задача устанавливает связь между $X$ и броуновским движением, убиваемым с интенсивностью $V(\cdot )$.

Пусть $\left(M^{(1)}, \ldots , M^{(d)}\right)$ -- локальный мартингал с $M_{0} = 0$, и обозначим его квадратичную вариацию через $\left\langle M\right\rangle = \left(\left\langle M^{(j)}, M^{(k)}\right\rangle \right)_{j, k}$. Покажите, что из $\left\langle M\right\rangle = 0$ следует $M = 0$.

Пусть $\left(N_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ -- непрерывный вещественнозначный локальный мартингал, и $u \in \mathcal{C}^{2}(\mathbb {R})$. Покажите следующую формулу Ито $d u\left(N_{t}\right) = u^{\prime }\left(N_{t}\right) d N_{t}+\frac{1}{2} u^{\prime \prime }\left(N_{t}\right) d\left\langle N\right\rangle_{t}$.

Пусть $\left(N_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ -- непрерывный локальный мартингал. Покажите, что $\tau_{n}: = \left\{ s \geqslant 0:\left|N_{t}\right| \geqslant n\right\}$ -- локализующая последовательность, делающая $N_{t \wedge \tau_{n}}$ ограниченным.

Докажите утверждение, обратное к Следствию 23.20.