21

Стохастические дифференциальные уравнения

[14/100%]
Показать
LaTeX
Задача 21.1

Пусть X=(Xt)t⩾0X = \left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0} — процесс из примера 21.2. Покажите, что XX — гауссов процесс с независимыми приращениями, и найдите C(s,t)=EXsXt,s,t⩾0C(s, t) = \mathbb {E} X_{s} X_{t}, s, t \geqslant 0.

?
Задача 21.2

Пусть (B(t))t∈[0,1](B(t))_{t \in [0,1]} — BM11{B M^{1}}^{1}, и положим tk=k/2nt_{k} = k / 2^{n} для k=0,1,…,2nk = 0,1, \ldots , 2^{n} и Δt=2−n\Delta t = 2^{ - n}. Рассмотрим разностное уравнение

ΔXn(tk)=−12Xn(tk)Δt+ΔB(tk),Xn(0)=A, \Delta X_{n}\left(t_{k}\right) = - \frac{1}{2} X_{n}\left(t_{k}\right) \Delta t+\Delta B\left(t_{k}\right), \quad X_{n}(0) = A,

где ΔXn(tk)=Xn(tk+Δt)−Xn(tk)\Delta X_{n}\left(t_{k}\right) = X_{n}\left(t_{k}+\Delta t\right) - X_{n}\left(t_{k}\right) и ΔB(tk)=B(tk+Δt)−B(tk)\Delta B\left(t_{k}\right) = B\left(t_{k}+\Delta t\right) - B\left(t_{k}\right) для 0⩽k⩽2n−10 \leqslant k \leqslant 2^{n} - 1, и A∼N(0,1)A \sim \mathrm{N}(0,1) не зависит от (Bt)t∈[0,1]\left(B_{t}\right)_{t \in [0,1]}.

?
(a)

Найдите явную формулу для Xn(tk)X_{n}\left(t_{k}\right), определите распределение Xn(1/2)X_{n}(1 / 2) и асимптотическое распределение при n→∞n \rightarrow \infty.

(b)

При n→∞n \rightarrow \infty разностное уравнение переходит в СДУ

dX(t)=−12X(t)dt+dB(t),X(0)=A d X(t) = - \frac{1}{2} X(t) d t+d B(t), \quad X(0) = A

Решите это СДУ и определите распределение X(1/2)X(1 / 2), а также корреляционную функцию C(s,t)=EXsXt,s,t∈[0,1]C(s, t) = \mathbb {E} X_{s} X_{t}, s, t \in [0,1].

Задача 21.3

Пусть Bt=(bt,βt)B_{t} = \left(b_{t}, \beta_{t}\right) — BM2\mathrm{BM}^{2}. Решите СДУ

Xt=x+b∫0tXsds+σ1∫0tXsdbs+σ2∫0tXsdβs X_{t} = x+b \int _{0}^{t} X_{s} d s+\sigma _{1} \int _{0}^{t} X_{s} d b_{s}+\sigma _{2} \int _{0}^{t} X_{s} d \beta _{s}

с x,b∈Rx, b \in \mathbb {R} и σ1,σ2>0\sigma_{1}, \sigma_{2} > 0.

?
Задача 21.4

Покажите, что в примере 21.7

Xt∘=exp⁡(−∫0t(β(s)−δ2(s)/2)ds)exp⁡(−∫0tδ(s)dBs) X_{t}^{\circ } = \exp \left( - \int _{0}^{t}\left(\beta (s) - \delta ^{2}(s) / 2\right) d s\right) \exp \left( - \int _{0}^{t} \delta (s) d B_{s}\right)

и проверьте выражение, приведённое для dXt∘d X_{t}^{\circ }. Более того, покажите, что

Xt=1Xt∘(X0+∫0t(α(s)−γ(s)δ(s))Xs∘ds+∫0tγ(s)Xs∘dBs) X_{t} = \frac{1}{X_{t}^{\circ }}\left(X_{0}+\int _{0}^{t}(\alpha (s) - \gamma (s) \delta (s)) X_{s}^{\circ } d s+\int _{0}^{t} \gamma (s) X_{s}^{\circ } d B_{s}\right)
?
Задача 21.5

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} — BM1\mathrm{BM}^{1}. Решение СДУ

dXt=−βXtdt+σdBt,X0=ξ d X_{t} = - \beta X_{t} d t+\sigma d B_{t}, \quad X_{0} = \xi

с β>0\beta > 0 и σ∈R\sigma \in \mathbb {R} является процессом Орнштейна–Уленбека.

?
(a)

Найдите XtX_{t} явно.

(b)

Определите распределение XtX_{t}. Является ли (Xt)t⩾0\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0} гауссовым процессом? Найдите корреляционную функцию C(s,t)=E[XsXt],s,t⩾0C(s, t) = \mathbb {E}\left[X_{s} X_{t}\right], s, t \geqslant 0.

(c)

Определите асимптотическое распределение μ\mu величины XtX_{t} при t→∞t \rightarrow \infty.

(d)

Предположим, что начальное условие ξ\xi является случайной величиной, не зависящей от (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}, и предположим, что ξ∼μ\xi \sim \mu с μ\mu из предыдущего пункта. Найдите характеристическую функцию (Xt1,…,Xtn)\left(X_{t_{1}}, \ldots , X_{t_{n}}\right) для всех 0⩽t1<t2<⋯<tn<∞0 \leqslant t_{1} < t_{2} < \cdots < t_{n} < \infty.

(e)

Покажите, что процесс (Ut)t⩾0\left(U_{t}\right)_{t \geqslant 0}, где Ut:=σ2βe−βtB(e2βt−1)U_{t}: = \frac{\sigma }{\sqrt{2 \beta }} e^{ - \beta t} B\left(e^{2 \beta t} - 1\right), имеет те же конечномерные распределения, что и (Xt)t⩾0\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0} с начальным условием X0=0X_{0} = 0. Сравните это со стационарным процессом ОУ из задачи 2.11.

Задача 21.6

Проверьте утверждение, сделанное в Примере 21.9, используя формулу Ито.

Выведите из доказательства Леммы 21.8 явно вид преобразования и коэффициентов в Примере 21.9.

?
Задача 21.7

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} -- BM1\mathrm{BM}^{1}. Найдите СДУ, для которого Xt=tBt,t⩾0X_{t} = t B_{t}, t \geqslant 0, является единственным решением.

?
Задача 21.8

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} -- BM1\mathrm{BM}^{1}. Для каждого из следующих процессов найдите СДУ, которому он удовлетворяет:

?
(a)

Ut=Bt1+tU_{t} = \frac{B_{t}}{1+t};

(b)

Vt=sin⁡BtV_{t} = \sin B_{t};

(c)

(XtYt)=(acos⁡Btbsin⁡Bt),a,b≠0\left(\begin{array}{l}X_{t} \\ Y_{t}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}a \cos B_{t} \\ b \sin B_{t}\end{array}\right), \quad a, b \neq 0.

Задача 21.9

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} -- BM1\mathrm{BM}^{1}. Решите следующие СДУ

?
(a)

dXt=bdt+σXtdBt,X0=x0d X_{t} = b d t+\sigma X_{t} d B_{t}, X_{0} = x_{0} и b,σ∈Rb, \sigma \in \mathbb {R};

(b)

dXt=(m−Xt)dt+σdBt,X0=x0d X_{t} = \left(m - X_{t}\right) d t+\sigma d B_{t}, X_{0} = x_{0} и m,σ>0m, \sigma > 0.

Задача 21.10

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} -- BM1\mathrm{BM}^{1}. Используя Лемму 21.10, найдите решение следующего СДУ:

dXt=(1+Xt2+12Xt)dt+1+Xt2dBt d X_{t} = \left(\sqrt{1+X_{t}^{2}}+\frac{1}{2} X_{t}\right) d t+\sqrt{1+X_{t}^{2}} d B_{t}
?
Задача 21.11

Покажите, что константу MM в (21.18) можно выбрать следующим образом:

M2⩾2L2+2∑j=1nsup⁡t⩽T∣bj(t,0)∣2+2∑j=1n∑k=1dsup⁡t⩽T∣σjk(t,0)∣2 M^{2} \geqslant 2 L^{2}+2 \sum _{j = 1}^{n} \sup _{t \leqslant T}\left|b_{j}(t, 0)\right|^{2}+2 \sum _{j = 1}^{n} \sum _{k = 1}^{d} \sup _{t \leqslant T}\left|\sigma _{j k}(t, 0)\right|^{2}
?
Задача 21.12

Линейный рост коэффициентов существен для Следствия 21.31.

?
(a)

Рассмотрите случай d=n=1,b(x)=−exd = n = 1, b(x) = - e^{x} и σ(x)=0\sigma (x) = 0. Найдите решение этого детерминированного ОДУ и сравните полученные результаты при x→+∞x \rightarrow +\infty со Следствием 21.31

(b)

Предположим, что ∣b(x)∣+∣σ(x)∣⩽M\left|b(x)\right|+\left|\sigma (x)\right| \leqslant M для всех xx. Найдите более простое доказательство Следствия 21.31.

(c)

Предположим, что ∣b(x)∣+∣σ(x)∣\left|b(x)\right|+\left|\sigma (x)\right| растёт при ∣x∣→∞\left|x\right| \rightarrow \infty как ∣x∣1−ϵ\left|x\right|^{1 - \epsilon } для некоторого ϵ>0\epsilon > 0. Покажите, что и в этом случае можно найти (относительно) простое доказательство Следствия 21.31.

Задача 21.13

Докажите для всех x,y∈Rnx, y \in \mathbb {R}^{n} неравенство

∣x−y∣(1+∣x∣)−1(1+∣y∣)−1⩽∣∣x∣−2x−∣y∣−2y∣. \left|x - y\right|(1+\left|x\right|)^{ - 1}(1+\left|y\right|)^{ - 1} \leqslant \left|\left|x\right|^{ - 2} x - \left|y\right|^{ - 2} y\right| .
?
Задача 21.14

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} -- BM1\mathrm{BM}^{1}, а b(x),σ(x)b(x), \sigma (x) -- автономные и глобально липшицевы коэффициенты. Мы видели в Следствии 21.24, что решение стохастического дифференциального уравнения dXt=b(Xt)dt+σ(Xt)dBtd X_{t} = b\left(X_{t}\right) d t+\sigma \left(X_{t}\right) d B_{t} является марковским процессом. Напомним, что Cb(R)\mathcal{C}_{b}(\mathbb {R}) и C∞(R)\mathcal{C}_{\infty }(\mathbb {R}) -- это ограниченные непрерывные функции и непрерывные функции, стремящиеся к нулю на бесконечности.

?
(a)

Найдите переходную полугруппу TtT_{t} этого марковского процесса и покажите, что TtT_{t} отображает Cb(R)\mathcal{C}_{b}(\mathbb {R}) в себя.

(b)

Используя Следствие 21.31, покажите, что TtT_{t} отображает C∞(R)\mathcal{C}_{\infty }(\mathbb {R}) в себя.

(c)

Найдите инфинитезимальный генератор AA полугруппы TtT_{t} на Cc2(R)\mathcal{C}_{c}^{2}(\mathbb {R}). Покажите, что AA имеет продолжение на Cb2(R)\mathcal{C}_{b}^{2}(\mathbb {R}).

(d)

Докажите следующее обобщение формулы Дынкина: если b,σb, \sigma ограничены, а τ\tau -- момент остановки с Exτ<∞\mathbb {E}^{x} \tau < \infty и u∈Cb1,2,u=u(t,x)u \in \mathcal{C}_{b}^{1,2}, u = u(t, x), то

Ex[u(τ,Xτ)]−u(0,x)=Ex[∫0τ(∂tu(s,Xs)+Axu(s,Xs))ds]. \mathbb {E}^{x}\left[u\left(\tau , X_{\tau }\right)\right] - u(0, x) = \mathbb {E}^{x}\left[\int _{0}^{\tau }\left(\partial _{t} u\left(s, X_{s}\right)+A_{x} u\left(s, X_{s}\right)\right) d s\right] .