Винеровский хаос и итерированные интегралы Винера–Ито

Покажите, что определение двойного интеграла Ито для внедиагональных простых функций (определение 20.4) не зависит от представления простой функции.

Повторите вычисление из конца примера 20.5 для общей меры $\mu$. Что происходит на диагонали?

Покажите, что определение итерированного интеграла Ито для $f \in L^{2}\left(\mathbb {R}_{+}^{2}\right)$ (определение 20.9) не зависит от аппроксимирующей последовательности.

Покажите, что многочлены Эрмита линейно независимы.

Пусть $f, g \in L^{2}\left(\mathbb {R}_{+}\right)$ и предположим, что $f \; \perp \! \! \! \perp \; g$, т.е. $\int_{\mathbb {R}_{+}} f(t) g(t) d t = 0$. Покажите, что $I_{1}(f) \; \perp \! \! \! \perp \; I_{1}(g)$.

Пусть $(X, Y)$ — гауссова случайная величина с нулевым средним. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X^{2} Y\right] = 0$. Используя это наблюдение, покажите, что $I^{2}(f) - \left\| f\right\|_{L^{2}}^{2}$ и $\mathcal{K}_{1}: = \left\{ I_{1}(g): g \in L^{2}\left(\mathbb {R}_{+}\right)\right\}$ ортогональны.

Выберем произвольный ортонормированный базис $\left(e_{k}\right)_{k \geqslant 1}$ пространства $H$. Пусть $\alpha \in \mathbb {N}_{0}^{(\infty )}$, т.е. $\alpha = \left(\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{N}, 0,0, \ldots \right)$, где $N \in \mathbb {N}$ и $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{N} \in \mathbb {N}_{0}$, и определим $e_{\alpha }: = \bigotimes_{k} e_{k}^{\otimes \alpha_{k}}$, т.е.

Договоримся, что $e^{\otimes 0}$ означает «опустить этот множитель», и $\left|\alpha \right| = \sum_{i = 0}^{\infty } \alpha_{i}$. Через $\widehat{e}_{\alpha }$ обозначим симметризацию $e_{\alpha }$.

Пусть $F, G$ — гладкие ограниченные цилиндрические функции. Покажите, что

Пусть $f \in L^{2}\left(\mathbb {R}_{m}^{+}\right), g \in L^{2}\left(\mathbb {R}_{n}^{+}\right)$ и предположим, что функции симметричны: $f = \widehat{f}$, $g = \widehat{g}$. Определим свёртку как

Покажите следующую формулу:

Используя формулу Ито, покажите, что для любых двух симметричных $f, g \in L^{2}\left(\mathbb {R}_{+}^{2}\right)$

Докажите (20.20), т.е. покажите, что $\mathbb {E}\left[B_{T}^{2 n} e^{ - B_{T}^{2}}\right] = \frac{(2 n - 1) ! !}{\sqrt{2 T+1}}\left(\frac{T}{2 T+1}\right)^{n}$. Здесь $( - 1) ! !: = 1$, $(2 n - 1) ! ! = 1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2 n - 1)$ — двойной факториал.

Пусть $F = \exp \left[I_{1}(g) - \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty } g^{2}(s) d s\right]$ для некоторого $g \in L^{2}\left(\mathbb {R}_{+}\right)$. Найдите все производные $D^{k} F$, а также разложение в хаос Винера–Ито.

Найдите разложение в хаос Винера–Ито для следующих случайных величин ($T > 0$ фиксировано):

Найдите разложение в хаос Винера–Ито для следующих случайных величин ($T > 0$ фиксировано):

Пусть $\mathcal{D} \subset L^{2}(\mu )$ и запишем $\Sigma : = \operatorname {span}(\mathcal{D})$. Покажите, что $\Sigma$ плотно тогда и только тогда, когда $\mathcal{D}$ является тотальным, т.е.