Броуновское движение как гауссовский процесс

Покажите, что существует случайный вектор $(U, V)$ такой, что $U$ и $V$ — одномерные гауссовские случайные величины, но $(U, V)$ не гауссовский.

Пусть $G \sim \mathrm{N}(m, C)$ — $d$-мерный гауссовский случайный вектор и $A \in \mathbb {R}^{d \times d}$. Покажите, что $A G \sim \mathrm{N}\left(A m, A C A^{\top }\right)$.

Пусть $X, \Gamma \sim \mathrm{N}(0, t)$. Покажите, что $X \; \perp \! \! \! \perp \; \Gamma \Longrightarrow X - \Gamma \; \perp \! \! \! \perp \; X+\Gamma$ и $X \pm \Gamma \sim \mathrm{N}(0,2 t)$.

Пусть $G_{n} \sim \mathrm{N}\left(0, t_{n}\right), n \geqslant 1$ — последовательность гауссовских случайных величин. Покажите, что $G_{n} \xrightarrow {\mathrm{d}} G$ тогда и только тогда, когда последовательность $\left(t_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ сходится.

Покажите, что ковариационная матрица $C = \left(t_{j} \wedge t_{k}\right)_{j, k = 1, \ldots , n}$, появляющаяся в теореме 2.6, положительно определена.

Проверьте, что матрица $M$ в доказательстве теоремы 2.6 и следствия 2.7 является нижнетреугольной матрицей с элементами 1 на диагонали и ниже неё. Покажите, что обратная матрица $M^{ - 1}$ является нижнетреугольной матрицей с элементами 1 на диагонали и -1 непосредственно под диагональю.

Пусть $A, B \in \mathbb {R}^{n \times n}$ — симметричные матрицы. Если $\left\langle A x, x \right\rangle = \left\langle B x, x \right\rangle$ для всех $x \in \mathbb {R}^{n}$, то $A = B$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$. Определите, какие из следующих процессов являются броуновскими движениями:

Пусть $(B(t))_{t \geqslant 0}$ — $B M^{1}$.

Найдите корреляционную функцию $C(s, t): = \mathbb {E}\left[X_{s} X_{t}\right], s, t \geqslant 0$, стохастического процесса $X_{t}: = B_{t}^{2} - t, t \geqslant 0$, где $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}, \alpha > 0$, и рассмотрим стохастический процесс $X_{t}: = e^{ - \alpha t / 2} B_{e^{\alpha t}}, t \geqslant 0$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$. Покажите, что $\mathscr {F}_{\infty }^{B} = \bigcup_{J \text{ счётно}}^{J \subset [0, \infty )} \sigma (B(t): t \in J)$.

Пусть $X(t), Y(t)$ — любые два стохастических процесса. Покажите, что

влечёт

Пусть $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ и $\left(\mathscr {G}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — любые две фильтрации, и определим $\mathscr {F}_{\infty } = \sigma \left(\bigcup_{t \geqslant 0} \mathscr {F}_{t}\right)$ и $\mathscr {G}_{\infty } = \sigma \left(\bigcup_{t \geqslant 0} \mathscr {G}_{t}\right)$. Покажите, что $\mathscr {F}_{t} \; \perp \! \! \! \perp \; \mathscr {G}_{t}(\forall t \geqslant 0)$ тогда и только тогда, когда $\mathscr {F}_{\infty } \; \perp \! \! \! \perp \; \mathscr {G}_{\infty }$.

Используя лемму 2.8, покажите, что (все конечномерные распределения) $\mathrm{BM}^{d}$ инвариантны относительно вращений.

Пусть $B_{t} = \left(b_{t}, \beta_{t}\right), t \geqslant 0$ — двумерное броуновское движение.

Пусть $B_{t} = \left(b_{t}, \beta_{t}\right), t \geqslant 0$ — двумерное броуновское движение. При каких значениях $\lambda , \mu \in \mathbb {R}$ процесс $X_{t}: = \lambda b_{t}+\mu \beta_{t} \text{ является }\mathrm{BM}^{1}$?

Пусть $B_{t} = \left(b_{t}, \beta_{t}\right), t \geqslant 0$ — двумерное броуновское движение. Определите, является ли для $s > 0$ процесс $X_{t}: = \left(b_{t}, \beta_{s - t} - \beta_{t}\right), 0 \leqslant t \leqslant s$ двумерным броуновским движением.

Пусть $B_{t} = \left(b_{t}, \beta_{t}\right), t \geqslant 0$ — двумерное броуновское движение и $\alpha \in [0,2 \pi )$. Покажите, что $W_{t} = \left(b_{t} \cdot \cos \alpha +\beta_{t} \cdot \sin \alpha , \beta_{t} \cdot \cos \alpha - b_{t} \cdot \sin \alpha \right)^{\top }$ является двумерным броуновским движением. Найдите подходящее $d$-мерное обобщение этого наблюдения.

Пусть $X$ — $Q$-BM. Определите $\operatorname {Cov}\left[ X_{t}^{j}, X_{s}^{k} \right]$, характеристическую функцию $X(t)$ и переходную вероятность (плотность) $X(t)$.

Покажите, что (B1) эквивалентно $B_{t} - B_{s} \; \perp \! \! \! \perp \; \mathscr {F}_{s}^{B}$ для всех $0 \leqslant s < t$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$ и положим $\tau_{a} = \inf \left\{ s \geqslant 0: B_{s} = a\right\}$, где $a \in \mathbb {R}$. Покажите, что $\tau_{a} \sim \tau_{ - a}$ и $\tau_{a} \sim a^{2} \tau_{1}$.

$\mathbb {R}$-значный стохастический процесс $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ такой, что $\mathbb {E}\left[X_{t}^{2}\right] < \infty$, называется стационарным (в широком смысле), если $m(t) = \mathbb {E}\left[X_{t}\right] \equiv$ const. и $C(s, t) = \mathbb {E}\left[X_{s} X_{t}\right] = g(t - s), 0 \leqslant s \leqslant t < \infty$ для некоторой чётной функции $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$. Какой из следующих процессов стационарен?

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \in [0,1]}$ и $\left(\beta_{t}\right)_{t \in [0,1]}$ — независимые одномерные броуновские движения. Покажите, что следующий процесс снова является броуновским движением:

Выясните, обладают ли процессы $X(t): = B\left(e^{t}\right)$ и $X(t): = e^{ - t / 2} B\left(e^{t}\right), t \geqslant 0$, свойством отсутствия памяти, т.е. $\sigma (X(t): t \leqslant a) \; \perp \! \! \! \perp \; \sigma (X(t+a) - X(a): t \geqslant 0)$ для $a > 0$.

Докажите свойство обращения времени из пункта 2.15.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$. Используя пункт 2.17, покажите, что $\lim_{t \rightarrow \infty } B_{t} / t = 0$ п.н. и в среднеквадратичном смысле.

Дробное броуновское движение (fBM, $\alpha$ - fBM) $\left(B_{t}^{\alpha }\right)_{t \in \mathbb {R}}$ с индексом Хёрста $H = \alpha / 2 \in (0,1]$ — это гауссовский процесс со следующей структурой среднего и ковариации

В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы