Приложения формулы Ито

Сформулируйте и докажите $d$ - мерную версию леммы 19.1.

Пусть $\left(N_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda = 1$ (см. задачу 10.1 для определения). Покажите, что для $\mathscr {F}_{t}^{N}: = \sigma \left(N_{r}: r \leqslant t\right)$ и $X_{t}: = N_{t} - t$, и $X_{t}^{2} - t$ являются мартингалами. Объясните, почему это не противоречит теореме 19.5.

Пусть $B_{t} = \left(b_{t}, \beta_{t}\right), t \geqslant 0$, — двумерное броуновское движение, т.е. $\left(b_{t}\right)_{t \geqslant 0},\left(\beta_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — независимые одномерные броуновские движения. Покажите, что для всех $\sigma_{1}, \sigma_{2} > 0$

является одномерным броуновским движением.

Пусть $(B(t))_{t \geqslant 0}$ — $B M^{1}$ и $T < \infty$. Определим $\beta_{T} = \exp \left(\xi B(T) - \frac{1}{2} \xi^{2} T\right), \mathbb {Q}: = \beta_{T} \mathbb {P}$ и $W(t): = B(t) - \xi t, t \in [0, T]$. Проверьте прямым вычислением, что для всех $0 < t_{1} < \cdots < t_{n}$ и $A_{1}, \ldots , A_{n} \in \mathscr {B}(\mathbb {R})$

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}, \Phi (y): = \mathbb {P}\left(B_{1} \leqslant y\right)$, и положим $X_{t}: = B_{t}+\alpha t$ для некоторого $\alpha \in \mathbb {R}$. Используя теорему Гирсанова, покажите, что для всех $0 \leqslant x \leqslant y, t > 0$

Пусть $X_{t}$ такой же, как в задаче 19.5, и положим $\widehat{\tau }_{b}: = \inf \left\{ t \geqslant 0: X_{t} = b\right\}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, обозначим через $\mathcal{H}_{T}^{2}$ пространство, использованное в лемме 19.10, и выберем $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n} \in \mathbb {R}$ и $0 = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{n} = T$. Покажите, что $\exp \left[i \sum_{j = 1}^{n} \xi_{j} B_{t_{j}}\right]$ содержится в $\mathcal{H}_{T}^{2} \oplus i \mathcal{H}_{T}^{2}$.

Пусть $(\mathcal{L},\langle \cdot , \cdot \rangle )$ — гильбертово пространство, а $\mathcal{H}$ — некоторое линейное подпространство. Покажите, что $\mathcal{H}$ является плотным подмножеством $\mathcal{L}$ тогда и только тогда, когда выполняется следующее свойство: $\forall x \in \mathcal{L}: x \; \perp \! \! \! \perp \; \mathcal{H} \Longrightarrow x = 0$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}, n \geqslant 1,0 \leqslant t_{1} < \cdots < t_{n} = T$, и пусть $Y$ — $\mathscr {F}_{T}$ измеримая, интегрируемая случайная величина. Предположим, что $\mathbb {E}\left[Y \mid \sigma \left(B_{t_{1}}, \ldots , B_{t_{n}}\right)\right] = 0$ при любом выборе $n \geqslant 1$ и $0 \leqslant t_{1} < \ldots t_{n} = T$. Покажите, что $Y = 0$ п.н.

Предположим, что $\left(B_{t}, \mathscr {G}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ и $\left(M_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — независимые мартингалы. Покажите, что $\left(M_{t}\right)_{t \leqslant T}$ и $\left(B_{t}\right)_{t \leqslant T}$ являются мартингалами относительно расширенной фильтрации $\mathscr {H}_{t}: = \sigma \left(\mathscr {F}_{t}, \mathscr {G}_{t}\right)$.

Покажите следующее дополнение к лемме 19.16:

и $\tau (s) \geqslant t \Longleftrightarrow a(t - ) \leqslant s$.

Покажите, что в теореме 19.17 квадратическая вариация $\left\langle M\right\rangle_{t}$ является моментом остановки относительно $\mathscr {G}_{t}$.

Пусть $f:[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна. Покажите, что $\int f^{a - 1} d f = f^{a} / a$ для всех $a > 0$.

Сформулируйте и докажите $d$ - мерную версию неравенств Бёркхольдера--Дэвиса--Ганди (19.21) при $p \in [2, \infty )$.

Мы видели в лемме 19.27.a), что $\operatorname {supp}\left[d L_{t}^{0}(\omega )\right] \subset \left\{ t \geqslant 0: B_{t}(\omega ) = 0\right\}$ для почти всех $\omega$. Покажите, что $\operatorname {supp}\left[d L_{t}^{a}(\omega )\right] \subset \left\{ t \geqslant 0: B_{t}(\omega ) = a\right\}$ для всех $\omega$ из множества $\Omega_{0}$ меры 1, такого что $\Omega_{0}$ не зависит от $a$.

Доказательство теоремы 19.29 неявно использует следующий прекрасный результат, принадлежащий Скороходу [239], который требуется доказать:

Лемма. Пусть $b:[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция такая, что $b(0) \geqslant 0$. Существуют единственные функции $p, a:[0, \infty ) \rightarrow [0, \infty )$ такие, что

Покажите, что в лемме 19.32.a) выполняется следующее более сильное утверждение: $\left(L_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ является аддитивным функционалом, т.е. $L_{t+s} = L_{t}+L_{s} \circ \theta_{t}$ выполняется для всех $s, t \geqslant 0$.

Используя строго марковское свойство, покажите непосредственно свойство стационарных и независимых приращений в лемме 19.32.c), т.е. что для всех $0 = u_{0} < u_{1} < \cdots < u_{n}$ и $A_{1}, \ldots , A_{n} \in \mathscr {B}[0, \infty )$ выполняется

Пусть $\left(X_{t}, \mathscr {G}_{t}\right)$ — согласованный вещественнозначный процесс с непрерывными справа траекториями и конечными пределами слева. Предположим, что $\mathbb {P}\left(X_{t} - X_{s} \in A \mid \mathscr {G}_{S}\right) = \mathbb {P}\left(X_{t - s} \in A\right)$ выполняется для всех $0 \leqslant s < t < \infty$ и $A \in \mathscr {B}(\mathbb {R})$. Покажите, что $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ обладает свойствами независимых и стационарных приращений (B1), (B2).