18

Формула Ито

[17/100%]
Показать
LaTeX
Задача 18.1

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} — BM1B M^{1}. Используя формулу Ито, получите представления

Xt=∫0texp⁡(Bs)dBs и Yt=∫0tBsexp⁡(Bs2)dBs X_{t} = \int _{0}^{t} \exp \left(B_{s}\right) d B_{s} \quad \text{ и } \quad Y_{t} = \int _{0}^{t} B_{s} \exp \left(B_{s}^{2}\right) d B_{s}

которые не содержат интегралов Ито.

?
Задача 18.2

Пусть Π={0=t0<t1<⋯<tN=T}\Pi = \left\{ 0 = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{N} = T\right\} — произвольное разбиение отрезка [0,T][0, T], и обозначим через ∣Π∣=max⁡j∣tj−tj−1∣\left|\Pi \right| = \max_{j}\left|t_{j} - t_{j - 1}\right| диаметр разбиения. Покажите, что предел

lim⁡∣Π∣→0∑j=1N(tj−tj−1)y \lim _{\left|\Pi \right| \rightarrow 0} \sum _{j = 1}^{N}\left(t_{j} - t_{j - 1}\right)^{y}

равен ∞,T\infty , T или 0 в зависимости от того, γ<1,γ=1\gamma < 1, \gamma = 1 или γ>1\gamma > 1.

?
Задача 18.3

Покажите, что пределы (18.5) и (18.6) на самом деле существуют в L2(P)L^{2}(\mathbb {P}) и равномерно по TT из компактных множеств.

?
Задача 18.4

Дайте прямое доказательство тождества

E[(∑l=1Ng(Btl−1)[(Btl−Btl−1)2−(tl−tl−1)])2]=E[∑l=1N∣g(Btl−1)∣2[(Btl−Btl−1)2−(tl−tl−1)]2]. \begin{aligned} \mathbb {E} & {\left[\left(\sum _{l = 1}^{N} g\left(B_{t_{l - 1}}\right)\left[\left(B_{t_{l}} - B_{t_{l - 1}}\right)^{2} - \left(t_{l} - t_{l - 1}\right)\right]\right)^{2}\right] } \\ & = \mathbb {E}\left[\sum _{l = 1}^{N}\left|g\left(B_{t_{l - 1}}\right)\right|^{2}\left[\left(B_{t_{l}} - B_{t_{l - 1}}\right)^{2} - \left(t_{l} - t_{l - 1}\right)\right]^{2}\right] . \end{aligned}

фигурирующего в доказательстве леммы 18.4.

?
Задача 18.5

Следующее упражнение содержит альтернативное доказательство формулы Ито (18.1) для одномерного броуновского движения (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}.

?
(a)

Пусть f∈C1(R)f \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb {R}). Покажите, что для Π={t0=0<t1<⋯<tn=t}\Pi = \left\{ t_{0} = 0 < t_{1} < \cdots < t_{n} = t\right\} и подходящих промежуточных значений ξl\xi_{l}

Btf(Bt)=∑lBtl(f(Btl)−f(Btl−1))+∑lf(Btl−1)(Btl−Btl−1)+∑lf′(ξl)(Btl−Btl−1)2. \begin{gathered} B_{t} f\left(B_{t}\right) = \sum _{l} B_{t_{l}}\left(f\left(B_{t_{l}}\right) - f\left(B_{t_{l - 1}}\right)\right)+\sum _{l} f\left(B_{t_{l - 1}}\right)\left(B_{t_{l}} - B_{t_{l - 1}}\right) \\ +\sum _{l} f^{\prime }\left(\xi _{l}\right)\left(B_{t_{l}} - B_{t_{l - 1}}\right)^{2} . \end{gathered}

Сделайте вывод, что дифференциальное выражение Btdf(Bt)B_{t} d f\left(B_{t}\right) корректно определено.

(b)

Покажите, что d(Btf(Bt))=Btdf(Bt)+f(Bt)dBt+f′(Bt)dtd\left(B_{t} f\left(B_{t}\right)\right) = B_{t} d f\left(B_{t}\right)+f\left(B_{t}\right) d B_{t}+f^{\prime }\left(B_{t}\right) d t.

(c)

Используя (b), найдите формулу для dBtn,n⩾2d B_{t}^{n}, n \geqslant 2, и покажите, что для любого многочлена p(x)p(x) выполняется формула Ито:

dp(Bt)=p′(Bt)dBt+12p′′(Bt)dt. d p\left(B_{t}\right) = p^{\prime }\left(B_{t}\right) d B_{t}+\frac{1}{2} p^{\prime \prime }\left(B_{t}\right) d t .
(d)

Покажите следующий результат об устойчивости для интегралов Ито:

L2(P)−lim⁡n→∞∫0Tgn(s)dBs=∫0Tg(s)dBs L^{2}(\mathbb {P}) - \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{T} g_{n}(s) d B_{s} = \int _{0}^{T} g(s) d B_{s}

для любой последовательности (gn)n⩾1\left(g_{n}\right)_{n \geqslant 1}, сходящейся в LT2\mathcal{L}_{T}^{2}.

(e)

Используя подходящую версию теоремы Вейерштрасса об аппроксимации и технику остановки и обрезания из доказательства теоремы 18.1, шаг 4∘4^{\circ }, выведите из c) формулу Ито для f∈C2f \in \mathcal{C}^{2}.

Задача 18.6
?
(a)

Используя (двумерное, детерминированное) цепное правило d(F∘G)=F′∘GdGd(F \circ G) = F^{\prime } \circ G d G, выведите формулу интегрирования по частям для интегралов Стилтьеса:

∫0tf(s)dg(s)=f(t)g(t)−f(0)g(0)−∫0tg(s)df(s) для всех f,g∈C1([0,∞),R) \int _{0}^{t} f(s) d g(s) = f(t) g(t) - f(0) g(0) - \int _{0}^{t} g(s) d f(s) \quad \text{ для всех } f, g \in \mathcal{C}^{1}([0, \infty ), \mathbb {R})
(b)

Используя формулу Ито для броуновского движения (bt,βt)t⩾0\left(b_{t}, \beta_{t}\right)_{t \geqslant 0} в R2\mathbb {R}^{2}, покажите, что

∫0tbsdβs=btβt−∫0tβsdbs,t⩾0 \int _{0}^{t} b_{s} d \beta _{s} = b_{t} \beta _{t} - \int _{0}^{t} \beta _{s} d b_{s}, \quad t \geqslant 0

Что произойдёт, если bb и β\beta не независимы?

Задача 18.7

Докажите следующую версию формулы Ито, зависящую от времени: пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} — BM1\mathrm{BM}^{1}, а f:[0,∞)×R→Rf:[0, \infty ) \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} — функция класса C1,2\mathcal{C}^{1,2}. Тогда

f(t,Bt)−f(0,0)=∫0t∂f∂x(s,Bs)dBs+∫0t(∂f∂t(s,Bs)+12∂2f∂x2(s,Bs))ds. f\left(t, B_{t}\right) - f(0,0) = \int _{0}^{t} \frac{\partial f}{\partial x}\left(s, B_{s}\right) d B_{s}+\int _{0}^{t}\left(\frac{\partial f}{\partial t}\left(s, B_{s}\right)+\frac{1}{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}}\left(s, B_{s}\right)\right) d s .

Сформулируйте и докажите dd - мерный аналог.

?
Задача 18.8

Докажите теорему 5.6, используя формулу Ито.

?
Задача 18.9

Пусть (Bt,Ft)t⩾0\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0} — BM1\mathrm{BM}^{1}. Используя формулу Ито, проверьте, что следующие процессы являются мартингалами:

Xt=et/2cos⁡Bt и Yt=(Bt+t)exp⁡(−Bt−t/2).  X_{t} = e^{t / 2} \cos B_{t} \quad \text{ и } \quad Y_{t} = \left(B_{t}+t\right) \exp \left( - B_{t} - t / 2\right) \text{. }
?
Задача 18.10

Пусть Bt=(bt,βt),t⩾0B_{t} = \left(b_{t}, \beta_{t}\right), t \geqslant 0 — BM2\mathrm{BM}^{2}, и положим rt:=∣Bt∣=bt2+βt2r_{t}: = \left|B_{t}\right| = \sqrt{b_{t}^{2}+\beta_{t}^{2}}.

?
(a)

Покажите, что стохастические интегралы ∫0tbs/rsdbs\int_{0}^{t} b_{s} / r_{s} d b_{s} и ∫0tβs/rsdβs\int_{0}^{t} \beta_{s} / r_{s} d \beta_{s} существуют.

(b)

Покажите, что Wt:=∫0tbs/rsdbs+∫0tβs/rsdβsW_{t}: = \int_{0}^{t} b_{s} / r_{s} d b_{s}+\int_{0}^{t} \beta_{s} / r_{s} d \beta_{s} является BM1\mathrm{BM}^{1}.

Задача 18.11

Пусть Bt=(bt,βt),t⩾0B_{t} = \left(b_{t}, \beta_{t}\right), t \geqslant 0 — BM2\mathrm{BM}^{2}, и f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),x,y∈Rf(x+i y) = u(x, y)+i v(x, y), x, y \in \mathbb {R} — аналитическая функция. Если ux2+uy2=1u_{x}^{2}+u_{y}^{2} = 1, то (u(bt,βt),v(bt,βt)),t⩾0\left(u\left(b_{t}, \beta_{t}\right), v\left(b_{t}, \beta_{t}\right)\right), t \geqslant 0, является BM2\mathrm{BM}^{2}.

?
Задача 18.12

Покажите, что dd - мерная формула Ито остаётся верной, если заменить вещественнозначную функцию f:Rd→Rf: \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {R} на комплексную функцию f=u+iv:Rd→Cf = u+i v: \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {C}.

?
Задача 18.13

Пусть χ∈Cc∞(−1,1)\chi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }( - 1,1), причём 0⩽χ⩽1,χ(0)=10 \leqslant \chi \leqslant 1, \chi (0) = 1 и ∫χ(x)dx=1\int \chi (x) d x = 1. Положим χn(x):=nχ(nx)\chi_{n}(x): = n \chi (n x).

?
(a)

Покажите, что supp χn⊂[−1/n,1/n]\chi_{n} \subset [ - 1 / n, 1 / n] и ∫χn(x)dx=1\int \chi_{n}(x) d x = 1.

(b)

Пусть f∈C(R)f \in \mathcal{C}(\mathbb {R}) и fn:=f⋆χnf_{n}: = f \star \chi_{n}. Покажите, что ∣∂kfn(x)∣⩽nksup⁡y∈B(x,1/n)∣f(y)∣∥∂kχ∥L1\left|\partial^{k} f_{n}(x)\right| \leqslant n^{k} \sup_{y \in \mathbb {B}(x, 1 / n)}\left|f(y)\right|\left\| \partial^{k} \chi \right\|_{L^{1}}.

(c)

Пусть f∈C(R)f \in \mathcal{C}(\mathbb {R}) равномерно непрерывна. Покажите, что lim⁡n→∞∥f⋆χn−f∥∞=0\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| f \star \chi_{n} - f\right\|_{\infty } = 0. Что можно сказать, если ff непрерывна, но не равномерно непрерывна?

(d)

Пусть ff кусочно непрерывна. Покажите, что lim⁡n→∞f⋆χn(x)=f(x)\lim_{n \rightarrow \infty } f \star \chi_{n}(x) = f(x) во всех точках xx, где ff непрерывна.

Задача 18.14

Покажите, что βt=∫0tsgn⁡(Bs)dBs\beta_{t} = \int_{0}^{t} \operatorname {sgn}\left(B_{s}\right) d B_{s} является BM1\mathrm{BM}^{1}.

?
Задача 18.15

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} — BM1,Φ∈Cb2(R),Φ(0)=0\mathrm{BM}^{1}, \Phi \in \mathcal{C}_{b}^{2}(\mathbb {R}), \Phi (0) = 0 и f,g∈LT2f, g \in \mathcal{L}_{T}^{2} для некоторого T>0T > 0. Покажите, что для всех t∈[0,T]t \in [0, T]

E[∫0tf(r)dBr⋅Φ(∫0tg(r)dBr)]=E[∫0tf(s)g(s)Φ′(∫0sg(r)dBr)ds]+12E[∫0t∫0sf(r)dBrΦ′′(∫0sg(r)dBr)g2(s)ds]. \begin{aligned} & \mathbb {E}\left[\int _{0}^{t} f(r) d B_{r} \cdot \Phi \left(\int _{0}^{t} g(r) d B_{r}\right)\right] \\ & = \mathbb {E}\left[\int _{0}^{t} f(s) g(s) \Phi ^{\prime }\left(\int _{0}^{s} g(r) d B_{r}\right) d s\right] \\ & +\frac{1}{2} \mathbb {E}\left[\int _{0}^{t} \int _{0}^{s} f(r) d B_{r} \Phi ^{\prime \prime }\left(\int _{0}^{s} g(r) d B_{r}\right) g^{2}(s) d s\right] . \end{aligned}
?
Задача 18.16

Пусть σΠ,bΠ∈ST\sigma_{\Pi }, b_{\Pi } \in \mathcal{S}_{T} аппроксимируют σ,b∈LT2\sigma , b \in \mathcal{L}_{T}^{2} при ∣Π∣→0\left|\Pi \right| \rightarrow 0, и рассмотрим процессы Ито XtΠ=X0+∫0tσΠ(s)dBs+∫0tbΠ(s)dsX_{t}^{\Pi } = X_{0}+\int_{0}^{t} \sigma_{\Pi }(s) d B_{s}+\int_{0}^{t} b_{\Pi }(s) d s и Xt=X0+∫0tσ(s)dBs+∫0tb(s)dsX_{t} = X_{0}+\int_{0}^{t} \sigma (s) d B_{s}+\int_{0}^{t} b(s) d s. Адаптируйте доказательство леммы 18.5, чтобы показать, что

∫0Tg(XsΠ)dXsΠ→∣Π∣→0P∫0Tg(Xs)dXs для всех g∈Cb(R) \int _{0}^{T} g\left(X_{s}^{\Pi }\right) d X_{s}^{\Pi } \xrightarrow [\left|\Pi \right| \rightarrow 0]{\mathbb {P}} \int _{0}^{T} g\left(X_{s}\right) d X_{s} \quad \text{ для всех } g \in \mathcal{C}_{b}(\mathbb {R})
?
Задача 18.17

Пусть Xt=Mt+AtX_{t} = M_{t}+A_{t} и Xt=Mt′+At′X_{t} = M_{t}^{\prime }+A_{t}^{\prime }, где M,M′M, M^{\prime } — непрерывные локальные мартингалы, а A,A′A, A^{\prime } — непрерывные процессы, локально имеющие п.н. ограниченную вариацию. Покажите, что M−M′M - M^{\prime } и A−A′A - A^{\prime } п.н. постоянны.

?