17

Стохастические интегралы: мартингальные интеграторы

[8/100%]
Показать
LaTeX
Задача 17.1

Покажите, что предложение 17.2 и следствие 17.3 остаются справедливыми для локальных мартингалов с непрерывными траекториями (ср. определение 16.7).

?
Задача 17.2

Распространите теорему 17.1 на локальные мартингалы с непрерывными траекториями.

?
Задача 17.3

Для M,N∈MT, loc cM, N \in \mathcal{M}_{T, \text{ loc }}^{c} определим ковариацию как ⟨M,N⟩t:=14(⟨M+N⟩t−⟨M−N⟩t)\langle M, N\rangle_{t}: = \frac{1}{4}\left(\left\langle M+N\right\rangle_{t} - \left\langle M - N\right\rangle_{t}\right). Покажите, что

?
(a)

t↦⟨M,N⟩tt \mapsto \langle M, N\rangle_{t} корректно определена, ограниченной вариации на компактных интервалах по tt (BV-процесс).

(b)

⟨M,N⟩\langle M, N\rangle является единственным BV-процессом таким, что MN−⟨M,N⟩∈MT, loc cM N - \langle M, N\rangle \in \mathcal{M}_{T, \text{ loc }}^{c}.

(c)

⟨M,N⟩t=\langle M, N\rangle_{t} = ucp −lim⁡∣Π∣↓0∑Π(Mti∧t−Mti−1∧t)(Nti∧t−Nti−1∧t)- \lim_{\left|\Pi \right| \downarrow 0} \sum_{\Pi }\left(M_{t_{i} \wedge t} - M_{t_{i - 1} \wedge t}\right)\left(N_{t_{i} \wedge t} - N_{t_{i - 1} \wedge t}\right).

(d)

(M,N)↦⟨M,N⟩(M, N) \mapsto \langle M, N\rangle билинейна.

(e)

∣⟨M,N⟩∣⩽⟨M⟩⟨N⟩\left|\langle M, N\rangle \right| \leqslant \sqrt{\left\langle M\right\rangle } \sqrt{\left\langle N\right\rangle }.

Задача 17.4

Используя лемму 17.14, покажите следующие утверждения:

?
(a)

lim⁡nE[sup⁡t⩽T∣Xtn−Xt∣2]=0⟹Xn→n→∞ucpX\lim_{n} \mathbb {E}\left[\sup_{t \leqslant T}\left|X_{t}^{n} - X_{t}\right|^{2}\right] = 0 \Longrightarrow X^{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{ ucp } X.

(b)

Xn→n→∞ucpX,Yn→n→∞ucpY⟹Xn+Yn→n→∞ucpX+YX^{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{ ucp } X, \quad Y^{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{ ucp } Y \Longrightarrow X^{n}+Y^{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{ ucp } X+Y.

(c)

ET\mathcal{E}_{T} ucp-плотно в LT, loc 2(M)\mathcal{L}_{T, \text{ loc }}^{2}(M) для любого M∈MT, loc cM \in \mathcal{M}_{T, \text{ loc }}^{c}.

Задача 17.5

Пусть M∈MT, loc cM \in \mathcal{M}_{T, \text{ loc }}^{c}. Покажите, что следующие отображения непрерывны, если использовать ucp-сходимость и в области определения, и в области значений:

?
(a)

LT, loc 2(M)∋f↦f2⋅⟨M⟩\mathcal{L}_{T, \text{ loc }}^{2}(M) \ni f \mapsto f^{2} \cdot \left\langle M\right\rangle.

(b)

LT, loc 2(M)∋f↦f∙M∈MT, loc c\mathcal{L}_{T, \text{ loc }}^{2}(M) \ni f \mapsto f \bullet M \in \mathcal{M}_{T, \text{ loc }}^{c}.

(c)

MT, loc c∋M↦⟨M⟩\mathcal{M}_{T, \text{ loc }}^{c} \ni M \mapsto \left\langle M\right\rangle.

Задача 17.6

Пусть M∈MT, loc cM \in \mathcal{M}_{T, \text{ loc }}^{c}, а f(t,ω)f(t, \omega ) — согласованный càdlàg-процесс (непрерывный справа, с конечными пределами слева), t∈[0,T]t \in [0, T].

?
(a)

Покажите, что f∈LT0(M)f \in \mathcal{L}_{T}^{0}(M), т.е. ∫0Tf(t,ω)d⟨M⟩t<∞\int_{0}^{T} f(t, \omega ) d\left\langle M\right\rangle_{t} < \infty п.н.

(b)

Покажите, что для любой последовательности разбиений Π\Pi отрезка [0,T][0, T] с ∣Π∣↓0\left|\Pi \right| \downarrow 0 имеем fΠ∙M→f∙Mf^{\Pi } \bullet M \rightarrow f \bullet M в смысле ucp. Здесь

fΠ(t,ω):=∑Πf(ti−1,ω)  1[ti−1,ti)(t). f^{\Pi }(t, \omega ): = \sum _{\Pi } f\left(t_{i - 1}, \omega \right) \; \mathbb {1}_{\left[t_{i - 1}, t_{i}\right)}(t) .
Задача 17.7

Пусть M∈MT, loc cM \in \mathcal{M}_{T, \text{ loc }}^{c}, а fnf_{n} — последовательность в LT0(M)\mathcal{L}_{T}^{0}(M). Если fn→ff_{n} \rightarrow f в смысле ucp, то f∈LT0(M)f \in \mathcal{L}_{T}^{0}(M).

?
Задача 17.8

Покажите, что процесс f2∙⟨M⟩t:=∫0t∣f(s)∣2d⟨M⟩sf^{2} \bullet \left\langle M\right\rangle_{t}: = \int_{0}^{t}\left|f(s)\right|^{2} d\left\langle M\right\rangle_{s}, фигурирующий в теореме 17.9.b), согласован.

?