Стохастические интегралы: локализация

Пусть $T < \infty$. Верно ли, что $\mathcal{L}_{T}^{0} = \mathcal{L}_{T, \text{ loc }}^{2}$?

Пусть $\tau$ — момент остановки. Покажите, что $\; \mathbb {1}_{[0, \tau )}$ является $\mathscr {P}$-измеримым.

Если $\sigma_{n}$ локализующая для локального мартингала, то таковой является и $\tau_{n}: = \sigma_{n} \wedge n$.

Множитель $\; \mathbb {1}_{\left\{ \sigma_{n} > 0\right\} }$ используется в определении локального мартингала, чтобы избежать требований интегрируемости для $M_{0}$. Точнее, если $\left(\sigma_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — локализующая последовательность, то

$M_{0} \in L^{1}(\mathbb {P}) \& \left(M_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — локальный мартингал $\Longleftrightarrow \left(M_{\sigma_{n} \wedge t}\right)_{t \geqslant 0}$ является мартингалом.

Пусть $\left(I_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — непрерывный согласованный процесс со значениями в $[0, \infty )$ и п.н. возрастающими траекториями. Положим для $u \geqslant 0$

Покажите, что