Стохастические интегралы: L²-теория

Пусть $\left(M_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ и $\left(N_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — $L^{2}$-мартингалы; тогда $\left(M_{n} N_{n} - \langle M, N\rangle_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — мартингал.

Пусть $\left(M_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ и $\left(N_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — $L^{2}$-мартингалы. Покажите, что $\left|\langle M, N\rangle_{n}\right| \leqslant \sqrt{\left\langle M\right\rangle_{n}} \sqrt{\left\langle N\right\rangle_{n}}$.

Пусть $f \in \mathcal{S}_{T}$ — простой процесс и $M \in \mathcal{M}_{T}^{2, c}$. Покажите, что определение стохастического интеграла $\int_{0}^{T} f(s) d M_{S}$ (ср. определение 15.9) не зависит от конкретного представления простого процесса (15.12).

Покажите, что $\left\| M\right\|_{\mathcal{M}_{T}^{2}}: = \left(\mathbb {E}\left[\sup_{s \leqslant T}\left|M_{s}\right|^{2}\right]\right)^{\frac{1}{2}}$ является нормой на семействе $\mathcal{M}_{T}^{2}$ классов эквивалентности $L^{2}$-мартингалов ($M$ и $\widetilde{M}$ называются эквивалентными тогда и только тогда, когда $\sup_{0 \leqslant t \leqslant T}\left|M_{t} - \widetilde{M}_{t}\right| = 0$ п.н.).

Покажите, что предел (15.19) не зависит от аппроксимирующей последовательности.

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, а $\tau$ — момент остановки. Найдите $\left\langle B^{\tau }\right\rangle_{t}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$ и $f, g \in \mathcal{L}_{T}^{2}$. Покажите, что

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, а $\left(f_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — последовательность в $\mathcal{L}_{T}^{2}$ такая, что $f_{n} \rightarrow f$ в $L^{2}\left(\lambda_{T} \otimes \mathbb {P}\right)$. Тогда $f_{n} \bullet B \rightarrow f \bullet B$ в $\mathcal{M}_{T}^{2, c}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$ и $f \in L^{2}\left(\lambda_{T} \otimes \mathbb {P}\right.$ ) для некоторого $T > 0$. Предположим, что предел $\lim_{\epsilon \rightarrow 0} f(\epsilon ) = f(0)$ существует в $L^{2}(\mathbb {P})$. Покажите, что

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1},\left(Y_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — согласованный процесс такой, что $Y_{t} Y_{s} = Y_{t}$ для всех $s \leqslant t$, и $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0} \in \mathcal{L}_{T}^{2}$. Покажите, что

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$. Покажите, что $(0, \infty ) \ni s \mapsto f(s, \omega ): = \; \mathbb {1}_{(0, \infty )}\left(B_{s}\right)$ непрерывно по $s$ в $L^{2}(\mathbb {P})$.

Используя тот факт, что непрерывный, квадратично интегрируемый мартингал с траекториями ограниченной вариации является константой (ср. предложение 17.2), покажите следующее: $\left\langle f \cdot B\right\rangle_{t}: = \int_{0}^{t}\left|f(s)\right|^{2} d s$ — единственный непрерывный и возрастающий процесс такой, что $(f \cdot B)^{2} - f^{2} \cdot \left\langle B\right\rangle$ является мартингалом.

Квадратическая ковариация двух непрерывных $L^{2}$-мартингалов $M, N \in \mathcal{M}_{T}^{2, c}$ определяется, как и в дискретном случае, формулой поляризации (15.8).

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$ и $f, g \in \mathcal{L}_{T}^{2}$. Покажите, что $\langle f \bullet B, g \bullet B\rangle_{t} = \int_{0}^{t} f(s) g(s) d s$ для всех $t \in [0, T]$.

Используя теорему 15.15.c), покажите, что стохастические интегралы для непрерывных справа и слева простых процессов $f(t, \omega ): = \sum_{j = 1}^{n} \phi_{j - 1}(\omega ) \; \mathbb {1}_{\left[s_{j - 1}, s_{j}\right)}(t)$ и $g(t, \omega ): = \sum_{j = 1}^{n} \phi_{j - 1}(\omega ) \; \mathbb {1}_{\left(s_{j - 1}, s_{j}\right]}(t)$ совпадают.

Пусть $\left(X_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — последовательность с.в. в $L^{2}(\mathbb {P})$. Покажите, что $L^{2} - \lim_{n \rightarrow \infty } X_{n} = X$ влечёт $L^{1} - \lim_{n \rightarrow \infty } X_{n}^{2} = X^{2}$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$. Покажите, что $\int_{0}^{T} B_{s}^{2} d B_{s} = \frac{1}{3} B_{T}^{3} - \int_{0}^{T} B_{s} d s, T > 0$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$ и $f \in \operatorname {BV}[0, T], T < \infty$, — неслучайная функция. Докажите, что $\int_{0}^{T} f(s) d B_{s} = f(T) B_{T} - \int_{0}^{T} B_{s} d f(s)$ (последний интеграл понимается как предел в среднем квадратичном сумм Римана - Стилтьеса). Сделайте вывод, что интеграл Ито расширяет интеграл Пэли - Винера - Зигмунда, ср. параграф 13.5.

Адаптируйте доказательство предложения 15.18 и докажите, что также выполняется

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — одномерное броуновское движение, $T < \infty$ и $\Pi_{n}, n \geqslant 1$, — последовательность разбиений $[0, T]: 0 = t_{n, 0} < t_{n, 1} < \cdots < t_{n, k(n)} = T$. Предположим, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left|\Pi_{n}\right| = 0$, и определим промежуточные точки $\theta_{n, k}^{\alpha }: = t_{n, k}+\alpha \left(t_{n, k+1} - t_{n, k}\right)$ для некоторого фиксированного $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$. Покажите, что суммы Римана - Стилтьеса

сходятся в $L^{2}(\mathbb {P})$, и найдите предел $L_{T}(\alpha )$. При каких $\alpha$ процесс $L_{t}(\alpha ), 0 \leqslant t \leqslant T$, является мартингалом?

Пусть $\left(B_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — одномерное броуновское движение, а $\tau$ — момент остановки. Покажите, что $f(s, \omega ): = \; \mathbb {1}_{[0, T \wedge \tau (\omega ))}(s), 0 \leqslant s \leqslant T < \infty$, прогрессивно измеримо. Используя непосредственно определение интеграла Ито, вычислите $\int_{0}^{T} f(s) d B_{s}$ и сравните результат с принципом локализации из теоремы 15.15.

Покажите, что

является $\sigma$-алгеброй.

Покажите, что каждый непрерывный справа или слева согласованный процесс является $\mathscr {P}$-измеримым.

Пусть $\tau$ — момент остановки для $\mathrm{BM}^{1}\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$, и определим стохастический интервал $(0, \tau \rrbracket : = \left\{ (s, \omega ): 0 < s \leqslant \tau (\omega )\right\}$. Покажите, используя подход белого шума из раздела 15.6, что $N_{t}\left(\; \mathbb {1}_{(0, \tau \rrbracket )}\right) = B_{\tau \wedge t}$.