Представление Скорохода

В доказательстве теоремы 14.2 мы предполагаем, что $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ и $(U, W)$ независимы. Покажите, что $\mathscr {F}_{t}: = \sigma \left(B_{s}, s \leqslant t ; U, W\right)$ является допустимой фильтрацией для броуновского движения, ср. определение 5.1.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, и $\tau$ — некоторый п.н. конечный момент остановки такой, что $\left|B_{t \wedge \tau }\right|, t \geqslant 0$, ограничена. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\tau^{2}\right] \leqslant 4 \mathbb {E}\left[B_{\tau }^{4}\right]$. Заключите отсюда, что в теореме 14.2 и следствии 14.3 мы "бесплатно" получаем оценки $\mathbb {E}\left[\tau^{2}\right] \leqslant 4 \mathbb {E}\left[X^{4}\right]$ и $\mathbb {E}\left[\left(\tau_{n} - \tau_{n - 1}\right)^{2}\right] \leqslant 4 \mathbb {E}\left[X_{1}^{4}\right]$ соответственно. (Однако эти последние оценки понимаются в $[0, \infty ]$.)

Пусть $B, H, T$ — вещественные случайные величины на одном и том же вероятностном пространстве. Мы пишем "$\; \perp \! \! \! \perp \;$" и "$\; \perp \! \! \! \perp \;_H$" для "независимы" и "условно независимы при заданном $H$".