Функциональный закон повторного логарифма Штрассена

$G^{\phi }$ — нормальная случайная величина со средним 0 и дисперсией $\int_{0}^{1} \phi^{2}(s) d s$;

$\int_{\mathcal{e}_{(0)}[0,1]} G^{\phi }(w) G^{\psi }(w) \mu (d w) = \int_{0}^{1} \phi (s) \psi (s) d s$ для всех $\phi , \psi \in \mathrm{BV}[0,1]$;

Если $\left(\phi_{n}\right)_{n \geqslant 1} \subset \mathrm{BV}[0,1]$ сходится в $L^{2}$ к $\phi$, то $G^{\phi }: = \lim_{n \rightarrow \infty } G^{\phi_{n}}$ существует как $L^{2}$ - предел и задаёт линейный функционал, который удовлетворяет a) и b).

Покажите, что $\mathcal{H}^{1}$ — гильбертово пространство с канонической нормой $\left\| h\right\|_{\mathcal{H}^{1}}^{2}: = \int_{0}^{1}\left|h^{\prime }(s)\right|^{2} d s$ и скалярным произведением $\left\langle \phi , h \right\rangle_{\mathcal{H}^{1}} = \int_{0}^{1} \phi^{\prime }(s) d h(s)$ (это интеграл Пэли--Винера--Зигмунда, ср. 13.5).

Покажите, что $\mathcal{H}_{\circ }^{1}$ — плотное подмножество $\mathcal{H}^{1}$.

Покажите, что $\left\| h\right\|_{\mathcal{H}^{1}} = \sup_{\phi \in \mathcal{H}^{1}, \left\| \phi \right\|_{\mathcal{H}^{1}} = 1} \left\langle \phi , h \right\rangle_{\mathcal{H}^{1}} = \sup_{\phi \in \mathcal{H}_{0}^{1}, \left\| \phi \right\|_{\mathcal{H}^{1}} = 1} \left\langle \phi , h \right\rangle_{\mathcal{H}^{1}}$.

Пусть $h \in \mathcal{C}_{(0)}[0,1]$. Покажите, что $h \notin \mathcal{H}^{1}$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left(\phi_{n}\right)_{n \geqslant 1} \subset \mathcal{H}_{\circ }^{1}$ такая, что $\left\| \phi_{n}\right\|_{\mathcal{H}^{1}} = 1$ и $\left\langle \phi_{n}, h \right\rangle_{\mathcal{H}^{1}} \geqslant 2 n$.

$\left(\int_{1 / 2}^{t} s^{2} d w(s), w(1 / 2)\right)$ для $1 / 2 \leqslant t \leqslant 1$;

$\left(\int_{1 / 2}^{t} s^{2} d w(s), w(u+1 / 2)\right)$ для $0 \leqslant u \leqslant t / 2,1 / 2 \leqslant t \leqslant 1$;

$\left(\int_{1 / 2}^{t} s^{2} d w(s), \int_{1 / 2}^{t} s d w(s)\right)$ для $1 / 2 \leqslant t \leqslant 1$;

$\left(\int_{1 / 2}^{1} e^{s} d w(s), w(1) - w(1 / 2)\right)$.