12

Рост траекторий броуновского движения

[7/100%]
Показать
LaTeX
Задача 12.1

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} — BM1\mathrm{BM}^{1}. Используйте лемму Бореля - Кантелли, чтобы показать, что текущий максимум MnM_{n} : = sup⁡0⩽t⩽nBt\sup_{0 \leqslant t \leqslant n} B_{t} не может расти быстрее, чем Cnlog⁡nC \sqrt{n \log n}, ни для какого C>2C > 2. Используйте это, чтобы показать, что

lim‾⁡t→∞MtCtlog⁡t⩽1 п.н.  \varlimsup _{t \rightarrow \infty } \frac{M_{t}}{C \sqrt{t \log t}} \leqslant 1 \quad \text{ п.н. }
?
Примечание.
?

Мы можем получить исключительное множество равномерно: на Ω0:=⋂Q∋C>2ΩC\Omega_{0}: = \bigcap_{\mathbb {Q}\ni C>2}\Omega_{C}, P(Ω0)=1\mathbb {P}\left(\Omega_{0}\right)=1 и ∀ω∈Ω0:lim‾⁡n→∞Mnnlog⁡n⩽2\forall \omega \in \Omega_{0}: \varlimsup_{n\rightarrow \infty } \frac{M_{n}}{\sqrt{n\log n}} \leqslant 2.

Задача 12.2

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} — BM1\mathrm{BM}^{1}. Примените максимальное неравенство Дуба (A.13) к экспоненциальному мартингалу Mtξ:=exp⁡(ξBt−12ξ2t)M_{t}^{\xi }: = \exp \left(\xi B_{t} - \frac{1}{2} \xi^{2} t\right), чтобы показать, что для всех x,ξ>0x, \xi > 0

P(sup⁡s⩽t(Bs−12ξs)>x)⩽e−xξ \mathbb {P}\left(\sup _{s \leqslant t}\left(B_{s} - \frac{1}{2} \xi s\right) > x\right) \leqslant e^{ - x \xi }

(Это неравенство можно использовать для верхней оценки в доказательстве теоремы 12.1, избегая комбинации (12.2) и верхней оценки в (12.1).)

?
Задача 12.3

Покажите, что доказательство закона повторного логарифма Хинчина, теорема 12.1, можно модифицировать, чтобы получить

lim‾⁡t→∞sup⁡s⩽t∣B(s)∣2tlog⁡log⁡t⩽1 \varlimsup _{t \rightarrow \infty } \frac{\sup _{s \leqslant t}\left|B(s)\right|}{\sqrt{2 t \log \log t}} \leqslant 1
?
Примечание.
?

Работа Дюпюи [4] показывает законы повторного логарифма для процессов (Xt)t⩾0(X_{t})_{t\geqslant 0} со стационарными независимыми приращениями, используя оценки типа P(Xt>x)\mathbb {P}\left(X_{t}>x\right). Если P(Xt>x)≍P(sup⁡s⩽tXs>x)\mathbb {P}\left(X_{t}>x\right) \asymp \mathbb {P}\left(\sup_{s\leqslant t}X_{s}>x\right), то закон повторного логарифма для XtX_{t} выполняется тогда и только тогда, когда закон повторного логарифма для sup⁡s⩽tXs\sup_{s\leqslant t}X_{s} выполняется.

Задача 12.4

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} — BM1\mathrm{BM}^{1}. Используйте теорему 12.5, чтобы показать, что κ(t)=(1+ϵ)2tlog⁡∣log⁡t∣\kappa (t) = (1+\epsilon ) \sqrt{2 t \log \left|\log t\right|} — верхняя функция при t→0t \rightarrow 0.

?
Задача 12.5

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} — BM1\mathrm{BM}^{1}. Выведите из теоремы 12.5 следующий критерий для верхних функций при больших временах. Предположим, что κ∈C[1,∞)\kappa \in \mathcal{C}[1, \infty ) — положительная функция такая, что κ(t)/t\kappa (t) / t убывает, а κ(t)/t\kappa (t) / \sqrt{t} возрастает. Тогда

P(B(t)<κ(t) при t→∞)={01 в зависимости от того, ∫1∞κ(s)s3/2exp⁡(−κ2(s)2s)ds{=∞<∞. \mathbb {P}\left(B(t) < \kappa (t) \text{ при } t \rightarrow \infty \right) = \begin{cases} 0 \\ 1 \end{cases} \text{ в зависимости от того, } \int _{1}^{\infty } \frac{\kappa (s)}{s^{3 / 2}} \exp \left(-\frac{\kappa ^{2}(s)}{2 s}\right) d s \begin{cases} = \infty \\ < \infty \end{cases} .
?
Задача 12.6

Пусть (Bt)t⩾0\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0} — одномерное броуновское движение, a,b>0a, b > 0 и τ:=inf⁡{t⩾0:∣Bt∣=ba+t}\tau : = \inf \left\{ t \geqslant 0:\left|B_{t}\right| = b \sqrt{a+t}\right\}. Покажите, что

?
(a)

P(τ<∞)=1\mathbb {P}\left(\tau < \infty \right) = 1;

(b)

Eτ=∞(b⩾1)\mathbb {E} \tau = \infty \quad (b \geqslant 1);

(c)

Eτ<∞(b<1)\mathbb {E} \tau < \infty \quad (b < 1).

Задача 12.7

Пусть X=(Xt)t⩾0X = \left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0} — одномерный процесс, удовлетворяющий (B0), (B1), (B2). Предположим, кроме того, что XX непрерывен по вероятности, т.е. lim⁡t→0P(∣Xt−X0∣>ϵ)=0\lim_{t \rightarrow 0} \mathbb {P}\left(\left|X_{t} - X_{0}\right| > \epsilon \right) = 0 для всех ϵ>0\epsilon > 0. Функция g:[0,∞)→[0,∞)g:[0, \infty ) \rightarrow [0, \infty ) называется функцией регулярного роста, если существуют функции κj(λ),j=1,2\kappa_{j}(\lambda ), j = 1,2, такие что lim⁡λ→1κ2(λ)=1,lim⁡λ→∞κ1(λ)=∞\lim_{\lambda \rightarrow 1} \kappa_{2}(\lambda ) = 1, \lim_{\lambda \rightarrow \infty } \kappa_{1}(\lambda ) = \infty и

κ1(λ)g(t)⩽g(λt)⩽κ2(λ)g(t) для всех λ⩾0,t>0.  \kappa _{1}(\lambda ) g(t) \leqslant g(\lambda t) \leqslant \kappa _{2}(\lambda ) g(t) \text{ для всех } \lambda \geqslant 0, t > 0 \text{. }

Покажите, что для каждого симметричного (т.е. Xt∼−XtX_{t} \sim - X_{t}) процесса XX и возрастающей gg регулярного роста

∫1∞1tP(Xt>13g(t))dt<∞⟹g является верхней функцией при t→∞. \int _{1}^{\infty } \frac{1}{t} \mathbb {P}\left(X_{t} > \frac{1}{3} g(t)\right) d t < \infty \Longrightarrow g \text{ является верхней функцией при } t \rightarrow \infty .

Замечание. XX — так называемый процесс Леви. Его траектории t↦Xtt \mapsto X_{t} не обязательно непрерывны, но могут иметь разрывы скачкообразного типа, которые, однако, никогда не происходят в фиксированные моменты времени. Это связано с непрерывностью "по вероятности". См. [231] и [235, Chapter X] для получения дополнительной информации по этой теме.

?
Примечание.
?

С небольшими изменениями это доказательство работает и для ∣X(t)∣\left|X(t)\right|; основное изменение требуется на шаге, использующем 2P(X(t)−X(ak)⩾0)⩾12\mathbb {P}\left(X(t)-X(a^{k})\geqslant 0\right)\geqslant 1, который нужно заменить оценкой типа Оттавиани--Скорохода — см. [9, p.295] для подробностей.