Броуновское движение как случайный фрактал

Проверьте, что $s$ - мерная мера Хаусдорфа является внешней мерой.

Покажите, что $d$ - мерная мера Хаусдорфа ограниченного открытого множества $U \subset \mathbb {R}^{d}$ конечна и положительна: $0 < \mathscr {H}^{d}(U) < \infty$. В частности, $\operatorname {dim} U = d$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{d}$. Покажите, что хаусдорфова размерность $\operatorname {dim} E$ совпадает с числами

Пусть $\left(E_{j}\right)_{j \geqslant 1}$ — подмножества $\mathbb {R}^{d}$ и $E: = \bigcup_{j \geqslant 1} E_{j}$. Покажите, что $\operatorname {dim} E = \sup_{j \geqslant 1} \operatorname {dim} E_{j}$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{d}$. Покажите, что $\operatorname {dim}\left(E \times \mathbb {R}^{n}\right) = \operatorname {dim} E+n$. Верна ли аналогичная формула для $E \times F$, где $E \subset \mathbb {R}^{d}$ и $F \subset \mathbb {R}^{n}$?

Пусть $f: \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ — би-липшицево отображение, т.е. как $f$, так и $f^{ - 1}$ липшицево непрерывны. Покажите, что $\operatorname {dim} f(E) = \operatorname {dim} E$. Верно ли это также для гёльдеровски непрерывного отображения с показателем $\gamma \in (0,1)$?

Пусть $C$ обозначает канторов дисконтинуум, который получается, если рекурсивно удалять открытую среднюю треть любого оставшегося интервала:

см. напр. [232, Problem 7.12] или [236, § 2.5]. Покажите, что $C = f_{1}(C) \cup f_{2}(C)$ с $f_{1}(x) = \frac{1}{3} x$ и $f_{2}(x) = \frac{1}{3} x+\frac{2}{3}$, и $\operatorname {dim} C = \log 2 / \log 3$.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{d}$. Покажите, что при $\lambda < d$ математическое ожидание $\mathbb {E}\left[\left|B_{1}\right|^{ - \lambda }\right]$ конечно.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — одномерное броуновское движение. Покажите, что

Пусть $F \subset \mathbb {R}$ — непустое совершенное множество, т.е. замкнутое множество, каждая точка которого является предельной точкой $F$. Покажите, что совершенное множество несчётно.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — $\mathrm{BM}^{1}$, и обозначим через $g_{t}$ последний ноль до момента времени $t > 0$.

Покажите, что следствие 11.26 также следует из леммы 11.23.

Пусть $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}, d_{t}$ и $g_{t}$ такие же, как в следствии 11.26. Определим

Найдите законы распределения $\left(L_{t}^{ - }, L_{t}\right), L_{t}^{ - }, L_{t}$ и $L_{t}$ при условии $L_{t}^{ - } = r$.

Найдите вероятность $\mathbb {P}\left(L_{t} > r+s \mid L_{t}^{ - } = r\right)$, т.е. вероятность того, что экскурсия продолжится ещё $s$ единиц времени, если известно, что она уже длится $r$ единиц времени.