10

Регулярность траекторий броуновского движения

[5/100%]
Показать
LaTeX
Задача 10.1

Пуассоновский процесс — это вещественнозначный стохастический процесс (Nt)t⩾0\left(N_{t}\right)_{t \geqslant 0} такой, что N0=0N_{0} = 0, Nt−Ns∼Nt−sN_{t} - N_{s} \sim N_{t - s}, и для t0=0<t1<⋯<tnt_{0} = 0 < t_{1} < \cdots < t_{n} приращения Ntj−Ntj−1N_{t_{j}} - N_{t_{j - 1}} независимы, и каждая NtN_{t} — пуассоновская случайная величина с параметром t⋅λt \cdot \lambda для некоторого λ>0\lambda > 0. В частности, (Nt)t⩾0\left(N_{t}\right)_{t \geqslant 0} удовлетворяет (B0), (B1), (B2).

?
(a)

Покажите, что процесс (Nt)t⩾0\left(N_{t}\right)_{t \geqslant 0} не удовлетворяет предположениям теоремы Колмогорова - Слуцкого - Ченцова, теорема 10.1.

(b)

Покажите, что (10.1) выполнено для n=1,α>0n = 1, \alpha > 0 и β=0\beta = 0. Обсудите роль β\beta в теореме 10.1.

(c)

Пусть λ=1\lambda = 1. Определите для процесса Xt=Nt−tX_{t} = N_{t} - t среднее значение m(t)m(t) и ковариацию C(s,t)=E[XsXt],s,t⩾0C(s, t) = \mathbb {E}\left[X_{s} X_{t}\right], s, t \geqslant 0.

Задача 10.2

Докажите, что в Rn\mathbb {R}^{n} все ℓp\ell^{p} - нормы (1⩽p⩽∞)(1 \leqslant p \leqslant \infty ) эквивалентны:

max⁡1⩽j⩽n∣xj∣⩽(∑j=1n∣xj∣p)1/p⩽n1/pmax⁡1⩽j⩽n∣xj∣ для всех x=(x1,…,xn)∈Rn. \max _{1 \leqslant j \leqslant n}\left|x_{j}\right| \leqslant \left(\sum _{j = 1}^{n}\left|x_{j}\right|^{p}\right)^{1 / p} \leqslant n^{1 / p} \max _{1 \leqslant j \leqslant n}\left|x_{j}\right| \quad \text{ для всех } x = \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n} .
?
Задача 10.3

Покажите, что для α∈(0,1)\alpha \in (0,1) функция Z↦E[∣Z∣α]Z \mapsto \mathbb {E}\left[\left|Z\right|^{\alpha }\right] субаддитивна, и завершите рассуждение в доказательстве теоремы 10.1 для этого случая.

?
Примечание.
?

Альтернатива: используйте субаддитивность Z↦E[∣Z∣α]Z\mapsto \mathbb {E}\left[\left|Z\right|^{\alpha }\right] непосредственно вместо неравенства треугольника для ∥Z∥Lα\left\| Z\right\|_{L^{\alpha }} (которая не является настоящей нормой при α<1\alpha <1) на соответствующем шаге доказательства.

Задача 10.4

Доказательство теоремы 10.3 фактически показывает, что почти все траектории броуновского движения нигде не липшицевы. Модифицируйте рассуждение этого доказательства, чтобы показать, что почти все траектории броуновского движения нигде не гёльдеровски непрерывны для всех α>1/2\alpha > 1 / 2. Почему рассуждение не проходит при α=1/2\alpha = 1 / 2?

?
Задача 10.5

Используйте теорему 10.6, чтобы показать, что сильная pp - вариация VAR⁡p(B;[0,1])\operatorname {VAR}_{p}(B ;[0,1]) процесса BM1\mathrm{BM}^{1} конечна при p>2p > 2.

?