Банк задач по математике

Задача 1.1

(a)(b)(c)

Пусть $X, Y, X_{n}, Y_{n}: \Omega \rightarrow \mathbb {R}, n \geqslant 1$ — случайные величины.

?

(a)

Если для всех $n \geqslant 1, X_{n} \; \perp \! \! \! \perp \; Y_{n}$ и если $\left(X_{n}, Y_{n}\right) \xrightarrow {d}(X, Y)$ , то $X \; \perp \! \! \! \perp \; Y$ .

(b)

Пусть $X \; \perp \! \! \! \perp \; Y$ , такие что $X, Y \sim \beta_{1 / 2}: = \frac{1}{2}\left(\delta_{0}+\delta_{1}\right)$ — бернуллиевские случайные величины. Положим $X_{n}: = X+\frac{1}{n}$ и $Y_{n}: = 1 - X_{n}$ . Тогда $X_{n} \xrightarrow {d} X, Y_{n} \xrightarrow {d} Y, X_{n}+Y_{n} \xrightarrow {d} 1$ , но $\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ не сходится слабо к $(X, Y)$ .

(c)

Предположим, что $X_{n} \xrightarrow {d} X$ и $Y_{n} \xrightarrow {d} Y$ . Верно ли, что $X_{n}+Y_{n} \xrightarrow {d} X+Y$ ?

Задача 1.2

Пусть $X_{n}, Y_{n}: \Omega \rightarrow \mathbb {R}^{d}, n \geqslant 1$ — две последовательности случайных величин такие, что $X_{n} \xrightarrow {d} X$ и $X_{n} - Y_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ . Тогда $Y_{n} \xrightarrow {d} X$ .

?

Задача 1.3

(a)(b)

Пусть $X_{n}, Y_{n}: \Omega \rightarrow \mathbb {R}, n \geqslant 1$ — две последовательности случайных величин.

?

(a)

Если $X_{n} \xrightarrow {d} X$ и $Y_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} c$ , то $X_{n} Y_{n} \xrightarrow {d} c X$ . Останется ли это верным, если $Y_{n} \xrightarrow {d} c$ ?

(b)

Если $X_{n} \xrightarrow {d} X$ и $Y_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ , то $X_{n}+Y_{n} \xrightarrow {d} X$ . Останется ли это верным, если $Y_{n} \xrightarrow {d} 0$ ?

Примечание.

?

Прямой подход к (a) возможен, но относительно неуклюж. Часть (b) имеет относительно простое прямое доказательство: зафиксируем $\xi \in \mathbb {R}$ ,

\mathbb {E}\left[e^{i \xi (X_{n}+Y_{n})}\right] - \mathbb {E}\left[e^{i \xi X}\right] = \left(\mathbb {E}\left[e^{i \xi (X_{n}+Y_{n})}\right] - \mathbb {E}\left[e^{i \xi X_{n}}\right]\right)+\underbrace{\left(\mathbb {E}\left[e^{i \xi X_{n}}\right] - \mathbb {E}\left[e^{i \xi X}\right]\right)}_{\to 0 \text{ по сходимости } d}.

Для первого слагаемого, используя аргумент равномерной непрерывности из задачи 1.2, для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta = \delta (\varepsilon , \xi ) > 0$ такое, что

\left|\mathbb {E}\left[e^{i \xi (X_{n}+Y_{n})}\right] - \mathbb {E}\left[e^{i \xi X_{n}}\right]\right| \leqslant \mathbb {E}\left[\left|e^{i \xi X_{n}}\left(e^{i \xi Y_{n}} - 1\right)\right|\right] = \mathbb {E}\left[\left|e^{i \xi Y_{n}} - 1\right|\right] \leqslant \varepsilon +\mathbb {P}\left(\left|Y_{n}\right| > \delta \right) \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{} \varepsilon \xrightarrow [\varepsilon \rightarrow 0]{} 0,

используя $Y_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ на предпоследнем шаге.

Задача 1.4

Пусть $X_{n}, X, Y: \Omega \rightarrow \mathbb {R}, n \geqslant 1$ — случайные величины. Если

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[f\left(X_{n}\right) g(Y)\right] = \mathbb {E}\left[f(X) g(Y)\right] \quad \text{ для всех } f \in \mathcal{C}_{b}(\mathbb {R}), g \in \mathcal{B}_{b}(\mathbb {R}) \text{, }

то $\left(X_{n}, Y\right) \xrightarrow {d}(X, Y)$ . Если $X = \phi (Y)$ для некоторого $\phi \in \mathcal{B}(\mathbb {R})$ , то $X_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} X$ .

?

Задача 1.5

(a)(b)(c)

Пусть $\delta_{j}, j \geqslant 1$ — н.о.р. бернуллиевские случайные величины с $\mathbb {P}\left(\delta_{j} = \pm 1\right) = 1 / 2$ . Положим

S_{0}: = 0, \quad S_{n}: = \delta _{1}+\cdots +\delta _{n} \quad \text{ и } \quad X_{t}^{n}: = \frac{1}{\sqrt{n}} S_{\left\lfloor n t\right\rfloor }

Одномерная случайная величина $G$ называется гауссовской, если она имеет характеристическую функцию $\mathbb {E}\left[e^{i \xi G}\right] = \exp \left(i m \xi - \frac{1}{2} \sigma^{2} \xi^{2}\right)$ с $m \in \mathbb {R}$ и $\sigma \geqslant 0$ . Докажите, что

?

(a)

$X_{t}^{n} \xrightarrow {d} G_{t}$ , где $t > 0$ и $G_{t}$ — гауссовская случайная величина.

(b)

$X_{t}^{n} - X_{s}^{n} \xrightarrow {d} G_{t - s}$ , где $t \geqslant s \geqslant 0$ и $G_{u}$ — гауссовская случайная величина. Верно ли $G_{t - s} = G_{t} - G_{s}$ ?

(c)

Пусть $0 \leqslant t_{1} \leqslant \ldots \leqslant t_{m}, m \geqslant 1$ . Определите предел при $n \rightarrow \infty$ случайного вектора $\left(X_{t_{m}}^{n} - X_{t_{m - 1}}^{n}, \ldots , X_{t_{2}}^{n} - X_{t_{1}}^{n}, X_{t_{1}}^{n}\right)$ .

Задача 1.6

Рассмотрим условие для всех $s < t$ случайные величины $\frac{B(t) - B(s)}{\sqrt{t - s}}$ одинаково распределены, центрированы и имеют дисперсию 1.

Покажите, что (B0), (B1), (B2), (B3) и (B0), (B1), (B2), (B3') эквивалентны.

?

Задача 1.7

Пусть $G$ и $G^{\prime }$ — две независимые вещественные N $(0,1)$ -случайные величины. Покажите, что

\Gamma ^{ \pm }: = \frac{G \pm G^{\prime }}{\sqrt{2}} \sim \mathrm{N}(0,1) \quad \text{ и } \quad \Gamma ^{ - } \; \perp \! \! \! \perp \; \Gamma ^{+}

?

Задача 1.8

(a)(b)

Пусть $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — стохастический процесс на пространстве с мерой $(\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P})$ , удовлетворяющий (B1)(B3). Предположим далее, что существует некоторое измеримое множество $\Omega_{0} \subset \Omega , \mathbb {P}\left(\Omega_{0}\right) = 1$ , такое что для всех $\omega \in \Omega_{0}$ имеем $X_{0}(\omega ) = 0$ и $t \mapsto X_{t}(\omega )$ непрерывно. Покажите, что

?

(a)

$B_{t}(\omega ): = X_{t}(\omega ) \; \mathbb {1}_{\Omega_{0}}(\omega )$ — броуновское движение на $(\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P})$ ;

(b)

$X_{t}$ — броуновское движение на пространстве $\left(\Omega_{0}, \Omega_{0} \cap \mathscr {A}, \mathbb {P}_{0}: = \mathbb {P}\left(\cdot \cap \Omega_{0}\right)\right)$ .

Обозначение. $\Omega_{0} \cap \mathscr {A}: = \left\{ \Omega_{0} \cap A: A \in \mathscr {A}\right\}$ — след $\sigma$ -алгебры.

Примечание.

?

Метод (b) также работает, если $\Omega_{0}$ не измеримо, см. задачу 1.9.

Задача 1.9

Пусть $(\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и пусть $\mathbb {P}^{*}\left(Q\right): = \inf \left\{ \mathbb {P}\left(A\right): A \supset Q, A \in \mathscr {A}\right\}$ — внешняя мера. Если $\Omega_{0} \subset \Omega$ таково, что $\mathbb {P}^{*}\left(\Omega_{0}\right) = 1$ , то $\left(\Omega_{0}, \mathscr {A}_{0}, \mathbb {P}_{0}\right)$ с $\mathscr {A}_{0}: = \Omega_{0} \cap \mathscr {A}$ и $\mathbb {P}_{0}\left(A_{0}\right): = \mathbb {P}\left(A\right)$ для каждого $A_{0} \in \mathscr {A}_{0}$ вида $A_{0} = \Omega_{0} \cap A$ , определяет новое вероятностное пространство.

?

Задача 1.10

Пусть $(\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство. Пополнение $\left(\Omega , \mathscr {A}^{\prime }, \mathbb {P}^{\prime }\right)$ — наименьшее расширение такое, что $\mathscr {A}^{\prime }$ содержит все подмножества измеримых нулевых множеств из $\mathscr {A}$ . Покажите, что

\begin{aligned} \mathscr {A}^{\prime }: = & \left\{ A^{\prime } \subset \Omega : \exists A_{1}, A_{2} \in \mathscr {A}, A_{1} \subset A^{\prime } \subset A_{2}, \mathbb {P}\left(A_{2} \backslash A_{1}\right) = 0\right\} , \\ & \mathbb {P}^{\prime }\left(A^{\prime }\right): = \mathbb {P}\left(A_{2}\right) \quad \left(A_{2} \text{ — как в определении } \mathscr {A}^{\prime }\right) . \end{aligned}

?

Новое явление Роберта Броуна