Глава 4

Анализ Фурье в гильбертовом пространстве

[12/42%]
Показать
LaTeX
§
4.1 · Ортонормированные последовательности[7/71%]
Задача 4.1.1

Покажите, что тригонометрическая система

12π,cos⁡(nx)π,sin⁡(mx)π,n,m=1,2,… \frac{1}{\sqrt{2 \pi }}, \quad \frac{\cos (n x)}{\sqrt{\pi }}, \frac{\sin (m x)}{\sqrt{\pi }}, \quad n, m=1,2, \ldots

является ортонормированной последовательностью в L2([−π,π],m)L^{2}([-\pi , \pi ], m).

?
Задача 4.1.2

В этом упражнении вы фактически вычислите классический (то есть построенный по ортонормированной последовательности из упражнения 1) ряд Фурье и исследуете его свойства сходимости. Заданная функция — базовая; в следующем упражнении вам предлагается проделать ту же процедуру с другой, также весьма базовой, функцией. Вычисления предлагается провести вручную, и вы наверняка оцените, насколько трудоёмкими становятся вычисления, стоит нам отойти от самых простых функций. Для таких вычислений существуют приёмы; заинтересованный читатель может узнать больше о подобных техниках в тексте, посвящённом классическим рядам Фурье.

?
(a)
f(x)={1 если −π≤x<00 если 0≤x<π f(x)= \begin{cases} 1 & \text{ если }-\pi \leq x<0 \\ 0 & \text{ если } 0 \leq x<\pi \end{cases}

Покажите, что его ряд Фурье равен

12+1π∑n=1∞((−1)n−1)nsin⁡(nx) \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi } \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\left((-1)^{n}-1\right)}{n} \sin (n x)
(b)

Объясните, почему этот ряд сходится в среднем к ff.

(c)

Что вы можете сказать о поточечной и равномерной сходимости этого ряда?

(d)

Почему все коэффициенты при косинусных членах равны нулю?

Задача 4.1.3

В этом упражнении вы вычислите ещё один ряд Фурье и исследуете его свойства сходимости.

?
(a)

Пусть f(x)=x2f(x)=x^{2}. Покажите, что его классический ряд Фурье равен

π23+4∑n=1∞(−1)nn2cos⁡(nx) \frac{\pi ^{2}}{3}+4 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \cos (n x)
(b)

Объясните, почему этот ряд сходится в среднем к ff.

(c)

Что вы можете сказать о поточечной и равномерной сходимости этого ряда?

(d)

Почему все коэффициенты при синусных членах равны нулю?

Задача 4.1.4

Для последовательности {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } в L2([−π,π],m)L^{2}([-\pi , \pi ], m) мы рассмотрели три способа сходимости {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }:

  • «поточечно»,

  • «равномерно»,

  • «в среднем».

Цель этого упражнения — понять связь между этими тремя типами сходимости. Для контрпримеров, запрашиваемых ниже, используйте любой конечный промежуток [a,b][a, b], какой вам удобен. Постарайтесь привести «простые» примеры.

?
(a)

Докажите, что равномерная сходимость влечёт поточечную сходимость.

(b)

Приведите пример, показывающий, что поточечная сходимость не влечёт равномерную сходимость.

(c)

Докажите, что равномерная сходимость влечёт сходимость в среднем.

(d)

Приведите пример, показывающий, что поточечная сходимость не влечёт сходимость в среднем.

(e)

Приведите пример, показывающий, что сходимость в среднем не влечёт поточечную сходимость. (Заметьте, что тот же пример показывает, что сходимость в среднем не влечёт равномерную сходимость.)

Задача 4.1.5

Примените процесс Грама--Шмидта к функциям 1,x,x2,x3,…1, x, x^{2}, x^{3}, \ldots, чтобы получить формулы для первых трёх многочленов Лежандра. Затем проверьте, что они действительно задаются формулой

2n+1212nn!dndxn(x2−1)n,n=1,2,3 \sqrt{\frac{2 n+1}{2}} \frac{1}{2^{n} n !} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}, \quad n=1,2,3
?
Задача 4.1.6

Докажите, что семейство Хаара является ортонормированным семейством в гильбертовом пространстве L2([0,1])L^{2}([0,1]).

?
Задача 4.1.7
?
(a)

Покажите, что последовательность

einx2π,n=0,±1±2,… \frac{e^{i n x}}{\sqrt{2 \pi }}, \quad n=0, \pm 1 \pm 2, \ldots

является полной ортонормированной последовательностью в L2([−π,π])L^{2}([-\pi , \pi ]).

(b)

Покажите, что последовательность

2πcos⁡(nx),n=1,2,3,… \sqrt{\frac{2}{\pi }} \cos (n x), \quad n=1,2,3, \ldots

является полной ортонормированной последовательностью в L2([0,π])L^{2}([0, \pi ]). (Заметьте, что 2πcos⁡(nx)\sqrt{\frac{2}{\pi }} \cos (n x) можно заменить на 2πsin⁡(nx)\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sin (n x).)

§
4.2 · Неравенство Бесселя, теорема Парсеваля и теорема Рисса–Фишера[5/0%]
Задача 4.2.1
?
(a)

Докажите, что в любом пространстве со скалярным произведением (V,⟨⋅,⋅⟩)(V,\langle \cdot , \cdot \rangle ) из ортогональности ff и gg следует

∥f∥2+∥g∥2=∥f+g∥2. \left\| f\right\| ^{2}+\left\| g\right\| ^{2}=\left\| f+g\right\| ^{2}.

Здесь, как обычно, ∥⋅∥=⟨⋅,⋅⟩\left\| \cdot \right\| =\sqrt{\langle \cdot , \cdot \rangle }.

(b)

Докажите теорему Парсеваля.

Задача 4.2.2

Предположим, что {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } — последовательность в L2L^{2} и fn→ff_{n} \rightarrow f в среднем. Докажите, что {∥fn∥2}n=1∞\left\{ \left\| f_{n}\right\|_{2}\right\}_{n=1}^{\infty } является ограниченной последовательностью вещественных чисел.

?
Задача 4.2.3

Предположим, что f1,f2,…,fnf_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n} — ортонормированное семейство в пространстве со скалярным произведением. Докажите, что f1,f2,…,fnf_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n} линейно независимы.

?
Задача 4.2.4

Для ff и gg из пространства со скалярным произведением, g≠0g \neq 0, проекцией ff на gg называется вектор

⟨f,g⟩∥g∥2g \frac{\langle f, g\rangle }{\left\| g\right\| ^{2}} g

Покажите, что два вектора

⟨f,g⟩∥g∥2g и f−⟨f,g⟩∥g∥2g \frac{\langle f, g\rangle }{\left\| g\right\| ^{2}} g \quad \text{ и } \quad f-\frac{\langle f, g\rangle }{\left\| g\right\| ^{2}} g

ортогональны.

?
Задача 4.2.5
?
(a)

Покажите, что классический ряд Фурье функции f(x)=xf(x)=x равен

2∑n=1∞(−1)n+1nsin⁡(nx) 2 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin (n x)
(b)

Используя результат пункта (a) вместе с тождеством Парсеваля, получите замечательное тождество Эйлера

∑n=1∞1n2=π26 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}

(Замечание: ту же процедуру можно применить к ряду Фурье функции x2x^{2}, чтобы получить

∑n=1∞1n4=π490 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi ^{4}}{90}

и так далее!)