Глава 1

Метрические, нормированные и предгильбертовы пространства

[13/0%]

LaTeX

Показать LaTeX

1.1 · Основные определения и теоремы[10/0%]

Задача 1.1.1

(a)(b)(c)

(a)

Проверьте, что $\left\| \cdot \right\|_{1},\left\| \cdot \right\|_{2}$ и $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ задают нормы на $\mathbb {R}^{2}$ .

(b)

Чтобы убедиться, что эти нормы действительно различны, вычислите расстояние $d((1,1),(2,3))$ (в каждой из трёх норм) между точками $(1,1)$ и $(2,3)$ .

(c)

Чтобы увидеть, что нормы различны, полезно (если это возможно) визуализировать «шары» в пространстве. Пусть

B_{r}(x)=\left\{ y \in V \mid \left\| x-y\right\| <r\right\} .

Это открытый шар радиуса $r$ с центром в точке $x$ . Особый интерес представляет «единичный шар» $B_{1}(0)=B_{1}((0,0))$ . В $\mathbb {R}^{2}$ для каждой из трёх различных норм нарисуйте $B_{1}(0)$ и $B_{3}((2,2))$ .

Задача 1.1.2

(a)(b)

Рассмотрим нормы $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ на $\mathbb {R}^{n}$ .

(a)

Докажите, что

\left\| x\right\| =\frac{1}{3}\left\| x\right\| _{1}+\frac{2}{3}\left\| x\right\| _{\infty }

задаёт норму на $\mathbb {R}^{n}$ .

(b)

Нарисуйте открытый единичный шар в $\mathbb {R}^{2}$ относительно этой нормы.

Задача 1.1.3

Проверьте, что $\ell^{1}$ и $\ell^{\infty }$ являются нормированными линейными пространствами.

Задача 1.1.4

Проверьте, что $C([a, b])$ с супремум-нормой является нормированным линейным пространством.

Задача 1.1.5

Докажите теорему 1.1.

Теорема 1.1: Норма всегда порождает метрику. А именно, если $(V, \left\| \cdot \right\| )$ — нормированное пространство и $d(v, w)$ определяется как $d(v, w) = \left\| v - w\right\|$ , то $d$ — метрика на $V$ .

Задача 1.1.6

Докажите теорему 1.2. (Указание: используйте неравенство Коши--Шварца, чтобы получить неравенство треугольника.)

Теорема 1.2: Скалярное произведение всегда порождает норму. А именно, если $(V, \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle )$ — пространство со скалярным произведением и $\left\| v\right\|$ определяется как $\left\| v\right\| = \sqrt{ \left\langle v, v \right\rangle }$ , то $\left\| \cdot \right\|$ — норма на $V$ .

Задача 1.1.7

Докажите, что в любом комплексном пространстве со скалярным произведением

\langle v, \lambda w\rangle =\bar{\lambda }\langle v, w\rangle

для всех $v, w \in V$ и каждого $\lambda \in \mathbb {C}$ .

Задача 1.1.8

(a)(b)

Рассмотрим нормированное линейное пространство $(V,\left\| \cdot \right\| )$ . Напомним, что некоторые нормированные линейные пространства являются пространствами со скалярным произведением, а некоторые — нет.

(a)

Докажите, что равенство параллелограмма характеризует пространства со скалярным произведением среди нормированных линейных пространств. То есть покажите, что

\left\| v\right\| =\sqrt{\langle v, v\rangle }

для некоторого скалярного произведения $\langle \cdot , \cdot \rangle$ тогда и только тогда, когда

2\left\| u\right\| ^{2}+2\left\| v\right\| ^{2}=\left\| u+v\right\| ^{2}+\left\| u-v\right\| ^{2}

выполняется для каждой пары $u$ и $v$ из $V$ .

(b)

Выполняется ли равенство параллелограмма в $\ell^{1}$ ? В $\ell^{\infty }$ ?

Задача 1.1.9

Используя предыдущее упражнение, покажите, что супремум-норма на $C([a, b])$ не может быть порождена скалярным произведением.

Задача 1.1.10

(a)(b)

(a)

В $C([0,1])$ с супремум-нормой вычислите $d(f, g)$ для $f(x)=1$ и $g(x)=x$ .

(b)

Повторите пункт (a), заменив супремум-норму на норму, порождённую скалярным произведением

\langle f, g\rangle =\int _{0}^{1} f(x) g(x) d x

1.3 · Обсуждение размерности[3/0%]

Задача 1.3.1

Базис для $\mathbb {R}^{n}$ , приведённый в тексте, называется «стандартным базисом». Это базис, но не единственный базис для $\mathbb {R}^{n}$ . Приведите другой базис для $\mathbb {R}^{3}$ и покажите, что это действительно базис.

Задача 1.3.2

Докажите, что $\ell^{1}$ бесконечномерно. Объясните, почему ваше доказательство также показывает, что $\ell^{\infty }$ бесконечномерно.

Задача 1.3.3

Докажите, что $C([0,1])$ бесконечномерно.