Дополнительные задачи

Пусть $A, B$ -- матрицы $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$. Определим композицию

Определяет ли эта композиция группу? Нейтральный элемент -- $0_{3}$.

Рассмотрим множество

Определим композицию $(a,b) \bullet (c,d) := (ac, (b+d) \bmod 2\pi )$. Покажите, что эта композиция определяет группу.

Пусть $m \in \mathbb {Z}$, $m \geq 2$, и пусть $G(m)$ -- группа матриц $2 \times 2$ с определителем $\pm 1$ и элементами из кольца $\mathbb {Z}/m\mathbb {Z}$, т.е.

Покажите, что множество $G(m)$ образует конечную группу относительно умножения матриц.

Покажите, что существует только одна группа порядка три. Коммутативна ли группа? Изоморфна ли группа некоторой подгруппе группы $S_{3}$?

Пусть $\phi : G \rightarrow H$ -- гомоморфизм между группами $G$ и $H$. Покажите, что $\ker (\phi )$ -- нормальная подгруппа группы $G$.

Пусть $\alpha , \beta , \phi \in \mathbb {R}$ и $\alpha , \beta \neq 0$. Рассмотрим матрицы

Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

Пусть $S_{n}$ -- группа всех перестановок $n$ объектов. Покажите, что каждая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок.

Пусть $G$ -- группа. Автоморфизм группы $G$ -- это изоморфизм, отображающий $G$ на себя. Покажите, что множество $\operatorname {Aut}(G)$ автоморфизмов группы $G$ образует группу относительно операции композиции автоморфизмов.