Глава 1

Группы

[110/93%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 1.1

Пусть $x, y \in \mathbb {R}$ . Определяет ли композиция

x \bullet y := \sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}

группу?

Задача 1.2

Пусть $x, y \in \mathbb {R} \setminus \left\{ 0\right\}$ и $\cdot$ обозначает умножение в $\mathbb {R}$ . Определяет ли композиция

x \bullet y := \frac{x \cdot y}{2}

группу?

Задача 1.3

Пусть $x, y \in \mathbb {R}$ . Является ли композиция $x \bullet y := \left|x+y\right|$ ассоциативной? Здесь $\left|\cdot \right|$ обозначает абсолютную величину.

Задача 1.4

Рассмотрим множество

G = \left\{ (a,b) \in \mathbb {R}^{2} : a \neq 0\right\} .

Определим композицию

(a,b) \bullet (c,d) := (ac, ad+b) .

Покажите, что эта композиция определяет группу. Коммутативна ли группа?

Задача 1.5

Покажите, что множество $\left\{ +1,-1,+i,-i\right\}$ образует группу относительно умножения. Найдите все подгруппы.

Задача 1.6

Пусть $i = \sqrt{-1}$ . Пусть $S$ -- множество комплексных чисел вида $q+pi\sqrt{5}$ , где $p,q \in \mathbb {Q}$ не равны нулю одновременно. Покажите, что это множество образует группу относительно умножения комплексных чисел.

Задача 1.7

Пусть $p$ -- простое число, $p \geq 3$ . Пусть $r$ и $s$ -- рациональные числа ( $r,s \in \mathbb {Q}$ ) с $r^{2}+s^{2}>0$ . Покажите, что множество чисел вида $r+s\sqrt{p}$ образует коммутативную группу.

Задача 1.8

Покажите, что множество

\left\{ e^{i\alpha } : \alpha \in \mathbb {R}\right\}

образует группу относительно умножения. Заметьте, что $\left|e^{i\alpha }\right|=1$ .

Задача 1.9

Рассмотрим аддитивную группу $(\mathbb {Z},+)$ . Приведите пример собственной подгруппы.

Задача 1.10

Пусть $S := \mathbb {R} \setminus \left\{ -1\right\}$ . Определим на $S$ бинарную операцию

a \bullet b := a+b+ab .

Покажите, что $\left\langle S, \bullet \right\rangle$ образует группу. Коммутативна ли группа?

Задача 1.11

Пусть $G$ -- группа и $x, y \in G$ . Покажите, что $(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$ .

Задача 1.12

Пусть $S$ -- множество всех рациональных чисел $\mathbb {Q}$ на интервале $0 \leq q < 1$ . Определим операцию ( $q, p \in S$ )

q \bullet p := \begin{cases} q+p & \text{если } 0 \leq q+p < 1 \\ q+p-1 & \text{если } \quad q+p \geq 1 \end{cases} .

Покажите, что $S$ с этой операцией является абелевой группой.

Задача 1.13

Покажите, что конечное множество

\mathbb {Z}_{n} := \left\{ 0,1,\ldots ,n-1\right\}

при $n \geq 1$ образует абелеву группу относительно сложения по модулю $n$ . Эта группа называется группой целых чисел по модулю $n$ .

Задача 1.14

Пусть $n \in \mathbb {N}$ . Пусть $U(n)$ -- множество всех натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$ . Тогда $U(n)$ является коммутативной группой относительно умножения по модулю $n$ . Найдите таблицу группы для $U(8)$ .

Задача 1.15

Рассмотрим подмножество нечётных чисел

\left\{ 1,3,7,9,11,13,17,19\right\} .

Покажите, что это множество образует абелеву группу относительно умножения по модулю $20$ .

Задача 1.16

Приведите таблицу группы для циклической группы $\mathbb {Z}_{6}$ из $6$ элементов.

Задача 1.17

Рассмотрим конечную группу $\mathbb {Z}_{2} \times \mathbb {Z}_{3}$ , которая имеет $2 \cdot 3 = 6$ элементов: $(0,0)$ , $(0,1)$ , $(0,2)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ , $(1,2)$ . Нейтральный элемент -- $(0,0)$ . Покажите, что $\mathbb {Z}_{2} \times \mathbb {Z}_{3}$ -- циклическая группа.

Задача 1.18

Рассмотрим функции, определённые на $\mathbb {R} \setminus \left\{ 0,1\right\}$

f_{1}(x)=x, \quad f_{2}(x)=\frac{1}{x}, \quad f_{3}(x)=1-x,

f_{4}(x)=\frac{x}{x-1}, \quad f_{5}(x)=\frac{1}{1-x}, \quad f_{6}(x)=1-\frac{1}{x} .

Покажите, что эти функции образуют группу относительно композиции функций $f_{j} \circ f_{k}$ , где

(f_{j} \circ f_{k})(x) := f_{j}(f_{k}(x)) .

Задача 1.19

Изоморфизм группы $G$ с самой собой называется автоморфизмом. Покажите, что для каждого $g \in G$ отображение $i_{g} : G \rightarrow G$ , определённое как

xi_{g} := g^{-1}xg

является автоморфизмом $G$ -- внутренним автоморфизмом $G$ , задаваемым сопряжением элементом группы $g$ . Нужно показать, что $i_{g}$ является изоморфизмом $G$ с самой собой. Таким образом, нужно показать, что оно инъективно, сюръективно и что

(xy)i_{g} = (xi_{g})(yi_{g})

для всех $g \in G$ .

Задача 1.20

Пусть $C_{n}$ -- циклическая группа. Покажите, что $C_{6} \simeq C_{3} \times C_{2}$ .

Задача 1.21

(i)(ii)

(i)

Пусть $Z(G)$ -- центр группы $G$ . Покажите, что $Z(G)$ -- коммутативная подгруппа группы $G$ .

(ii)

Пусть $a \in Z(G)$ и $g \in G$ . Тогда $ag=ga$ . Покажите, что $a^{-1}g = ga^{-1}$ .

Задача 1.22

Покажите, что центр $Z(G)$ группы $G$ является нормальной подгруппой группы $G$ .

Задача 1.23

(i)(ii)

Пусть $H$ -- подгруппа группы $G$ . Нормализатор $N(H)$ подгруппы $H$ в $G$ определяется как

N(H) := \left\{ g \in G : gHg^{-1} = H\right\} .

(i)

Покажите, что $N(H)$ -- подгруппа группы $G$ .

(ii)

Покажите, что $H$ -- нормальная подгруппа группы $N(H)$ .

Задача 1.24

Рассмотрим группу $G$ . Определим групповой коммутатор ( $x,y \in G$ )

[x,y] := xyx^{-1}y^{-1}

Рассмотрим две матрицы $2 \times 2$ с определителем $1$

x = \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad y = \begin{pmatrix} 1 & b \\ c & 1+bc \end{pmatrix}

где $t, b, c \in \mathbb {R}$ . Это означает, что $x$ и $y$ -- элементы $SL(2,\mathbb {R})$ . Найдите групповой коммутатор.

Задача 1.25

Пусть $G$ -- группа. Даны два элемента $g_{1}, g_{2} \in G$ . Групповым коммутатором элементов $g_{1}$ и $g_{2}$ называется элемент

g_{1}g_{2}g_{1}^{-1}g_{2}^{-1} .

Рассмотрим компактную группу Ли $SO(2,\mathbb {R})$ с

g_{1}(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}, \qquad g_{1}(\beta ) = \begin{pmatrix} \cos \beta & \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix}

Найдите групповой коммутатор.

Задача 1.26

(i)(ii)

(i)

Покажите, что множество всех групповых коммутаторов $aba^{-1}b^{-1}$ группы $G$ порождает нормальную подгруппу $G'$ (так называемую коммутантную подгруппу) группы $G$ .

(ii)

Покажите, что $G/G'$ абелева.

Задача 1.27

Пусть $H$ и $K$ -- две подгруппы группы $G$ . Покажите, что отношение

g \sim g' \quad \text{если} \quad g' = hgk \quad \text{для некоторых} \quad h \in H, \ k \in K

является отношением эквивалентности, разбивающим $G$ на двойные смежные классы $Hg_{j}K$ для $g_{j} \in G$ .

Задача 1.28

Пусть $G$ -- группа с композицией $\bullet$ . Пусть $H$ -- подгруппа группы $G$ . Определим отношение

a \sim b \Leftrightarrow a \bullet b^{-1} \in H \quad \text{для} \quad a,b \in G .

Является ли это отношение отношением эквивалентности?

Задача 1.29

Пусть $G$ -- группа. Пусть $G_{1}$ и $G_{2}$ -- две подгруппы группы $G$ . Покажите, что пересечение $G_{1}$ и $G_{2}$ само является подгруппой.

Задача 1.30

Множество $\left\{ 1,-1\right\}$ образует группу $G_{1}$ относительно умножения. Множество $\left\{ 0,1\right\}$ образует группу $G_{2}$ относительно операции XOR $\oplus$ , т.е.

0 \oplus 0 = 0, \quad 0 \oplus 1 = 1, \quad 1 \oplus 0 = 1, \quad 1 \oplus 1 = 0 .

Покажите, что эти две группы изоморфны.

Задача 1.31

Покажите, что любая бесконечная циклическая группа $G$ изоморфна группе $\mathbb {Z}$ целых чисел относительно сложения.

Задача 1.32

(i)(ii)

Пусть $\phi_{1} : G_{1} \rightarrow G_{2}$ и $\phi_{2} : G_{2} \rightarrow G_{1}$ -- гомоморфизмы такие, что $\phi_{1}\phi_{2} = \phi_{2}\phi_{1} = i$ , где $i$ -- тождественное отображение. Это означает, что $\phi_{1}\phi_{2} : G_{1} \rightarrow G_{1}$ и $\phi_{2}\phi_{1} : G_{2} \rightarrow G_{2}$ являются тождественными отображениями. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма групп $\mathrm{im}(\phi_{1})$ изоморфен фактор-группе $G_{1}/\ker (\phi_{1})$ .

(i)

Покажите, что $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ оба являются изоморфизмами $G_{1}$ и $G_{2}$ .

(ii)

Покажите, что $\phi_{1} = (\phi_{2})^{-1}$ .

Задача 1.33

Покажите, что конечные группы $G_{1} := \left\{ +1,-1 : \cdot \right\}$ и

G_{2} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} : *\right\}

изоморфны, где $*$ обозначает умножение матриц.

Задача 1.34

(i)(ii)

Рассмотрим матричные группы относительно умножения матриц

G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} : a,b \in \mathbb {R}, \ a>0\right\} , \qquad N = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : b \in \mathbb {R}\right\} .

(i)

Покажите, что $N$ -- нормальная подгруппа группы $G$ .

(ii)

Покажите, что фактор-группа $G/N$ изоморфна аддитивной группе $(\mathbb {R},+)$ .

Задача 1.35

Пусть $G$ -- группа. Пусть $H$ -- подгруппа группы $G$ . Для любого фиксированного $g \in G$ определим

gHg^{-1} := \left\{ ghg^{-1} : h \in H\right\} .

Группа $gHg^{-1}$ называется сопряжённой подгруппой к $H$ . Покажите, что если $H$ циклическая, то $gHg^{-1}$ также циклическая.

Задача 1.36

Пусть $G_{1}, G_{2}, \ldots , G_{n}$ -- группы. Для

(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}) \in G_{1} \times G_{2} \times \cdots \times G_{n}, \qquad (h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n}) \in G_{1} \times G_{2} \times \cdots \times G_{n}

определим $(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}) \bullet (h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})$ как $(g_{1}h_{1}, g_{2}h_{2}, \ldots , g_{n}h_{n})$ . Покажите, что $G_{1} \times G_{2} \times \cdots \times G_{n}$ является группой относительно этой композиции (называемой внешним прямым произведением групп $G_{j}$ ).

Задача 1.37

Пусть $G$ -- конечная группа. Классом сопряжённости для заданного элемента $g$ группы $G$ называется множество, определённое как

C(g) := \left\{ aga^{-1} : a \in G\right\} .

Покажите, что число элементов в классе сопряжённости делит порядок группы $G$ .

Задача 1.38

Матрицы перестановок $3 \times 3$

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц. Найдите классы сопряжённости.

Задача 1.39

Пусть $D_{n}$ -- группа диэдра с $n \geq 3$ . Это конечная неабелева группа жёстких движений правильного $n$ -угольника. Порядок группы равен $2n$ . Найдите центр

Z(D_{n}) := \left\{ c \in D_{n} : cx=xc \quad \text{для всех} \quad x \in D_{n}\right\} .

Задача 1.40

Число элементов группы (конечной или бесконечной) называется её порядком. Порядок группы $G$ обозначается $\left|G\right|$ . Порядком элемента $g$ группы $G$ называется наименьшее натуральное число $k$ такое, что $g^{k}=e$ , где $e$ -- нейтральный элемент группы. Он обозначается $\left|g\right|$ . Если такого числа не существует, говорят, что $g$ имеет бесконечный порядок. Рассмотрим матрицу перестановки $3 \times 3$

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

и умножение матриц. Каков порядок $P$ в группе матриц перестановок? Каков порядок группы всех матриц перестановок $3 \times 3$ ?

Задача 1.41

Рассмотрим множество матриц Паули $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$

\sigma _{x} := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{y} := \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{z} := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

и единичную матрицу $2 \times 2$ $I_{2}$ . Можно ли расширить это множество так, чтобы получить группу относительно умножения матриц?

Задача 1.42

Группа $SL(2,\mathbb {R})$ состоит из всех матриц $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ с определителем, равным $1$ . Пусть

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

-- элементы $SL(2,\mathbb {R})$ . Каков порядок $A$ , $B$ и $AB$ ?

Задача 1.43

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим множество $N = \left\{ 1,2,\ldots ,n\right\}$ . Множество всех перестановок $N$ называется симметрической группой степени $n$ и обозначается $S_{n}$ . Элементы $S_{n}$ имеют вид

s = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ s(1) & s(2) & \ldots & s(n) \end{pmatrix} .

Порядок группы равен $n!$ .

(i)

Рассмотрим $S_{3}$ . Приведите все элементы этой группы.

(ii)

Коммутативна ли группа?

(iii)

Сколько подгрупп имеет $S_{3}$ ?

Задача 1.44

Рассмотрим квадрат, вершины которого пронумерованы против часовой стрелки $1, 2, 3, 4$ . Покажите, что группа симметрий $D_{4}$ квадрата является подгруппой симметрической группы $S_{4}$ . Группа $S_{4}$ определяется как множество всех перестановок $\left\{ 1,2,3,4\right\}$ . Каждый элемент группы симметрий $D_{4}$ переводит каждую вершину квадрата в другую вершину. Таким образом, он переводит каждый элемент множества $\left\{ 1,2,3,4\right\}$ (номер вершины) в другой элемент.

Задача 1.45

Группа всех чётных перестановок $n$ объектов называется знакопеременной группой степени $n$ и обозначается $A_{n}$ . При $n>1$ знакопеременная группа имеет порядок $n!/2$ . Найдите все элементы группы $A_{3}$ .

Задача 1.46

Если $G$ -- группа и $g \in G$ , то $H := \left\{ g^{n} : n \in \mathbb {Z}\right\}$ является подгруппой группы $G$ . Эта группа -- циклическая подгруппа группы $G$ , порождённая элементом $g$ . Рассмотрим матрицу перестановки $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Покажите, что $A, A^{2}, A^{3}$ образуют группу относительно умножения матриц.

Задача 1.47

Рассмотрим матрицу перестановки $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Пусть $I_{4}$ -- единичная матрица $4 \times 4$ . Найдите $A^{2}, A^{3}, A^{4}$ и тем самым покажите, что имеем циклическую группу.

Задача 1.48

(i)(ii)(iii)

(i)

Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Очевидно, $\operatorname {rk}\left(A\right)=4$ , и поэтому обратная матрица существует. Пусть $I_{4}$ -- единичная матрица $4 \times 4$ . Найдите обратную матрицу к $A$ .

(ii)

Образует ли множество $\left\{ A, A^{-1}, I_{4}\right\}$ группу относительно умножения матриц? Если нет, можно ли найти конечное расширение множества, чтобы получить группу?

(iii)

Вычислите определители матриц, найденных в (ii). Покажите, что эти числа образуют группу относительно умножения.

Задача 1.49

Покажите, что следующие матрицы образуют группу относительно умножения матриц

s_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad s_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad s_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

s_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad s_{5} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad s_{6} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Эти матрицы -- шесть матриц перестановок $3 \times 3$ .

Задача 1.50

(i)(ii)

Пусть $M$ и $N$ -- два многообразия. Биективное отображение $\phi$ из $M$ в $N$ называется диффеоморфизмом, если и $\phi : M \rightarrow N$ , и обратное отображение $\phi^{-1}$ дифференцируемы. Пусть $f : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ задана аналитической функцией

f(x) = 4x(1-x)

а аналитическая функция $g : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ задана как

g(x) = 1-2x^{2} .

(i)

Можно ли найти диффеоморфизм $\phi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ такой, что

g = \phi \circ f \circ \phi ^{-1} \ ?

(ii)

Рассмотрим диффеоморфизм $\psi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

\psi (x) = \sinh (x) .

Вычислите $\psi \circ g \circ \psi^{-1}$ .

Задача 1.51

Пусть $G$ -- группа диэдра, определённая как

D_{8} := \left\langle a,b : a^{4}=b^{2}=e, \ b^{-1}ab=a^{-1}\right\rangle

где $e$ -- нейтральный элемент группы. Определим обратимые матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Пусть $I_{2}$ -- единичная матрица $2 \times 2$ . Покажите, что $A^{4} = B^{2} = I_{2}$ , $B^{-1}AB = A^{-1}$ , и тем самым покажите, что мы имеем представление группы диэдра.

Задача 1.52

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

C_{3} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

вместе с единичной матрицей $2 \times 2$ $I_{2}$ . Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц? Если нет, найдите наименьшее множество матриц с $C_{3}$ , $\sigma_{3}$ и $I_{2}$ в качестве элементов, образующее группу относительно умножения матриц.

Задача 1.53

Пусть $c \in \mathbb {R}$ и $c \neq 0$ . Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A(c) = \begin{pmatrix} c & c \\ c & c \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц. Заметим, что матрицы $A(c)$ не являются обратимыми в обычном смысле, т.е. $\operatorname {det}\left(A(c)\right)=0$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(A(c)\right)$ .

Задача 1.54

(i)(ii)

(i)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {R}$ такие, что

\operatorname {det}\left(A\right) = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} = 1

A\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} .

(ii)

Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

Задача 1.55

Пусть $G$ -- группа. Если подмножество $H$ группы $G$ само является группой относительно операции $G$ , то $H$ называется подгруппой группы $G$ . Рассмотрим группу матриц перестановок $3 \times 3$ относительно умножения матриц. Найдите подгруппу порядка $3$ .

Задача 1.56

Рассмотрим конечные группы. Теорема Лагранжа утверждает, что порядок подгруппы конечной группы всегда является делителем порядка группы. Покажите, что нельзя заключить, что если $G$ -- конечная группа и $m$ -- делитель порядка $G$ , то $G$ будет содержать подгруппу порядка $m$ . Рассмотрим подгруппу $A_{4}$ с определителем $+1$ группы всех матриц перестановок $4 \times 4$ . Порядок этой группы равен $4!/2=12$ .

Задача 1.57

Образуют ли двенадцать ортогональных матриц $2 \times 2$

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Если нет, добавьте матрицы так, чтобы получить группу.

Задача 1.58

Рассмотрим группу $GL(n,\mathbb {R})$ всех обратимых матриц $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что матрицы $n \times n$ с целыми элементами и определителем $+1$ или $-1$ образуют подгруппу группы $GL(n,\mathbb {R})$ .

Задача 1.59

(i)(ii)

Рассмотрим группу $G = \left\{ a,b,c\right\}$ с групповой операцией $\cdot : G \times G \rightarrow G$ , определённой таблицей

\begin{array}{c|ccc} \cdot & a & b & c \\ \hline a & a & b & c \\ b & b & c & a \\ c & c & a & b \end{array} .

Пусть $M(n)$ обозначает векторное пространство матриц $n \times n$ над $\mathbb {C}$ .

(i)

Покажите, что $f : G \rightarrow M(3)$ -- точное представление для $(G,\cdot )$ , где

f(a) := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

f(b) := \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

f(c) := \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} .

(ii)

Приводимо ли представление в (i)? Докажите или опровергните.

Задача 1.60

Прямая сумма матриц $2 \times 2$ $A, B$ определяется как

A \oplus B := \begin{pmatrix} A & 0_{2} \\ 0_{2} & B \end{pmatrix}

где $0_{2}$ -- нулевая матрица $2 \times 2$ . Матрицы $2 \times 2$

I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц. Покажите, что матрицы $4 \times 4$

I_{2} \oplus I_{2}, \quad I_{2} \oplus N, \quad N \oplus I_{2}, \quad N \oplus N

образуют группу относительно умножения матриц.

Задача 1.61

Пусть $A, B$ -- матрицы $2 \times 2$ . Определим композицию

A \star B := \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & a_{12} \\ 0 & b_{11} & b_{12} & 0 \\ 0 & b_{21} & b_{22} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 & a_{22} \end{pmatrix} .

Пусть

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .

Покажите, что матрицы $4 \times 4$ $E \star E$ , $E \star N$ , $N \star E$ , $N \star N$ образуют группу относительно умножения матриц.

Задача 1.62

Произведение Кронекера матриц $2 \times 2$ $A, B$ определяется как матрица $4 \times 4$

A \otimes B := \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{pmatrix} .

Пусть

N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .

Покажите, что матрицы $4 \times 4$ $I_{2} \otimes I_{2}$ , $I_{2} \otimes N$ , $N \otimes I_{2}$ , $N \otimes N$ образуют группу относительно умножения матриц.

Задача 1.63

Какие из матриц перестановок $4 \times 4$ можно записать как произведения Кронекера матриц перестановок $2 \times 2$ ?

Задача 1.64

Покажите, что четыре матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц. Абелева ли группа?

Задача 1.65

Рассмотрим множество всех матриц $2 \times 2$ над множеством целых чисел $\mathbb {Z}$ с определителем, равным $1$ . Покажите, что эти матрицы образуют группу относительно умножения матриц. Эта группа называется $SL(2,\mathbb {Z})$ .

Задача 1.66

Рассмотрим группу всех матриц перестановок $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}, \ B = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}, \ C = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix},

D = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0& 0 \end{pmatrix}, \ E = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}, \ F = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \end{pmatrix},

G = \begin{pmatrix} 0& 1& 0& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}, \ H = \begin{pmatrix} 0& 1& 0& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}, \ I = \begin{pmatrix} 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix},

J = \begin{pmatrix} 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0& 0 \end{pmatrix}, \ K = \begin{pmatrix} 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}, \ L = \begin{pmatrix} 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \end{pmatrix},

M = \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}, \ N = \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0& 0 \end{pmatrix}, \ O = \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix},

P = \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0& 0 \end{pmatrix}, \ Q = \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \end{pmatrix}, \ R = \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \end{pmatrix},

S = \begin{pmatrix} 0& 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}, \ T = \begin{pmatrix} 0& 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \end{pmatrix}, \ U = \begin{pmatrix} 0& 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix},

V = \begin{pmatrix} 0& 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \end{pmatrix}, \ W = \begin{pmatrix} 0& 0& 0& 1 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \end{pmatrix}, \ X = \begin{pmatrix} 0& 0& 0& 1 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 1& 0& 0& 0 \end{pmatrix} .

Найдите все подгруппы и определите, коммутативны они или нет.

Задача 1.67

(i)(ii)

Группа Гейзенберга -- это группа верхнетреугольных матриц $3 \times 3$ вида

\begin{pmatrix} 1 & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 1 & a_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

где $a_{jk} \in \mathbb {F}$ , а $\mathbb {F}$ -- произвольное поле. Далее рассматриваем $\mathbb {F} = \mathbb {C}$ .

(i)

Коммутативна ли группа Гейзенберга?

(ii)

Пусть $A, B$ -- элементы группы Гейзенберга. Выполняется ли косоплетённое соотношение $ABBA = BAAB$ ?

Задача 1.68

Группа $SL(2,\mathbb {Z})$ порождается элементами

T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

Найдите $A \in SL(2,\mathbb {Z})$ через $T$ и $S$ , если

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

Задача 1.69

Рассмотрим симметрическую группу $S_{3}$ матриц перестановок $3 \times 3$ . Образуют ли элементы группы, удовлетворяющие условию $P_{j}^{2} = I_{3}$ , подгруппу группы $S_{3}$ ?

Задача 1.70

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим группу $G$ всех матриц перестановок $3 \times 3$ . Покажите, что

\Pi = \frac{1}{\left|G\right|} \sum _{g \in G} g

является проекционной матрицей, т.е. $\Pi = \Pi^{*}$ и $\Pi^{2} = \Pi$ . Здесь $\left|G\right|$ обозначает число элементов группы.

(ii)

Рассмотрим подгруппу $H$ группы $G$ , заданную матрицами

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Покажите, что

\Pi = \frac{1}{\left|H\right|} \sum _{g \in H} g

является проекционной матрицей.

Задача 1.71

Рассмотрим группу перестановок $S_{n}$ . Пусть $\sigma \in S_{n}$ . Является ли $\varphi (\sigma ) = \operatorname {sgn}(\sigma )$ гомоморфизмом? Здесь $\operatorname {sgn}(\sigma )$ обозначает знак перестановки $\sigma$ .

Задача 1.72

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим группу перестановок $S_{n}$ . Знакопеременная группа $A_{n}$ состоит из всех чётных перестановок $S_{n}$ . Покажите, что они образуют группу относительно композиции.

(ii)

Рассмотрим $S_{3}$ с матричным представлением матрицами перестановок $3 \times 3$

\begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix},

\begin{pmatrix} 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0 \end{pmatrix} .

Найдите матричное представление $A_{3}$ с помощью матриц перестановок $3 \times 3$ .

Задача 1.73

Пусть $x \in \mathbb {R}$ и $z \in \mathbb {C}$ . Покажите, что треугольные матрицы $3 \times 3$

g(z,x) = \begin{pmatrix} 1 & \bar{z} & \frac{1}{2}\bar{z}z+ix \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц.

Задача 1.74

Пусть $x \in \mathbb {R}$ и $z_{1}, z_{2} \in \mathbb {C}$ . Положим $\overrightarrow {z} = (z_{1},z_{2})^{T}$ . Покажите, что треугольные матрицы $4 \times 4$

g(\overrightarrow {z},x) = \begin{pmatrix} 1 & \bar{z}_{1} & \bar{z}_{2} & \frac{1}{2}(\overrightarrow {z}|\overrightarrow {z})+ix \\ 0 & 1 & 0 & z_{1} \\ 0 & 0 & 1 & z_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц, где $(\overrightarrow {z}|\overrightarrow {z})$ -- скалярное произведение

(\overrightarrow {z}|\overrightarrow {z}) \equiv \bar{\overrightarrow {z}}\overrightarrow {z} := \left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2} .

Задача 1.75

Все обратимые матрицы $n \times n$ образуют группу относительно умножения матриц. Пусть $a, b, c \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

M = \frac{i}{4} \begin{pmatrix} -2c & -a+ib & -a+ib & 0 \\ -2a-2ib & c-a & c+a & 2b-2ic \\ -2a-2ib & c+a & c-a & -2b+2ic \\ 0 & b+ic & -b-ic & 2a \end{pmatrix} .

Пусть $T$ -- обратимая матрица $4 \times 4$

T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Покажите, что матрицу $4 \times 4$ $TMT^{-1}$ можно записать как прямую сумму двух матриц $2 \times 2$ .

Задача 1.76

(i)(ii)

(i)

Покажите, что циклическая группа $C_{3}$ порождается элементом

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц. Линейно независимы ли эти матрицы?

(ii)

Пусть $r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3} \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим множество всех линейных комбинаций вида

r_{0}I_{2}+r_{1}A+r_{2}A^{2}+r_{3}A^{3} .

Покажите, что это множество является кольцом.

Задача 1.77

(i)(ii)(iii)

Пусть $L$ -- обратимая матрица

L = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

(i)

Найдите все обратимые матрицы $2 \times 2$ $M$ такие, что $M^{-1}LM = L$ .

(ii)

Найдите все обратимые матрицы $2 \times 2$ $S$ такие, что $S^{-1}LS = L^{-1}$ .

(iii)

Вычислите матрицу $(MS)^{-1}L(MS)$ . Прокомментируйте.

Задача 1.78

Рассмотрим квадрат. Найдите все преобразования симметрии, оставляющие квадрат инвариантным. Используйте матрицы перестановок.

Задача 1.79

(i)(ii)

Рассмотрим группу $GL(2,\mathbb {F})$ , где в качестве основного поля $\mathbb {F}$ может выступать $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ , $\mathbb {C}$ или $\mathbb {Z}_{p}$ , где $p$ -- простое число. Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} .

(i)

Найдите обратную матрицу к $A$ , если основное поле -- $\mathbb {Q}$ .

(ii)

Найдите обратную матрицу к $A$ , если основное поле -- $\mathbb {Z}_{5}$ .

Задача 1.80

Покажите, что $SL(2,\mathbb {R})$ -- нормальная подгруппа группы $GL(2,\mathbb {R})$ . Группа $SL(2,\mathbb {R})$ состоит из всех матриц $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ с определителем $1$ . Используйте следующую теорему.

Примечание.

Подгруппа $H$ группы $G$ нормальна в $G$ тогда и только тогда, когда $gHg^{-1} \subseteq H$ для всех $g \in G$ .

Задача 1.81

Рассмотрим группу $G = GL(2,\mathbb {R})$ и нормальную подгруппу $H = SL(2,\mathbb {R})$ . Пусть $g \in G$ с $\operatorname {det}\left(g\right)=2$ . Покажите, что множество $gH$ -- это множество всех матриц $2 \times 2$ в $G$ с определителем $2$ .

Задача 1.82

Пусть $G$ -- группа и $g \in G$ . Покажите, что

H := \left\{ g^{n} : n \in \mathbb {Z}\right\}

является подгруппой группы $G$ и является наименьшей подгруппой группы $G$ , содержащей элемент $g$ .

Задача 1.83

Четверная группа Клейна -- это абелева группа порядка $4$ . Это наименьшая нециклическая группа. Четверная группа Клейна состоит из нейтрального элемента $e$ и элементов $i, j, k$ с композицией

i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = e .

Приведите матричное представление матрицами $2 \times 2$ .

Задача 1.84

Пусть $\omega = \exp (i2\pi /3)$ , $\bar{\omega } = \exp (-i2\pi /3)$ . Покажите, что унитарная матрица

U = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & \omega & \bar{\omega } \\ 1 & \bar{\omega } & \omega \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

приводит естественное представление $C_{3}$

\begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}

к его неприводимой форме.

Задача 1.85

Пусть $a, b \in \mathbb {R}$ . При каких условиях на $a, b$ матрицы

\begin{pmatrix} a & b & 0 \\ b & a & b \\ 0 & b & a \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц?

Задача 1.86

Пусть $a, b, c \in \mathbb {R}$ . Покажите, что матрицы

\begin{pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют некоммутативную группу относительно умножения матриц. Найдите центр группы $G$ .

Задача 1.87

Пусть $A_{n}$ -- знакопеременная группа. Порядок $A_{n}$ равен $n!/2$ . Является ли $A_{n}$ нормальной подгруппой группы $S_{n}$ ?

Задача 1.88

Пусть $S$ -- множество, а $G$ -- группа. Действием группы $G$ на $S$ называется отображение

\varphi : G \times S \rightarrow S, \qquad \varphi (g,x) = gx

такое, что

$ex = x$ для нейтрального элемента $e$ группы $G$ и для всех $x \in S$
$(g_{1}g_{2})x = g_{1}(g_{2}x)$ для всех $x \in S$ и всех $g_{1}, g_{2} \in G$ . При этих условиях $S$ называется $G$ -множеством. Приведите пример для $G$ , $S$ и действия.

Задача 1.89

(i)(ii)(iii)

(i)

Покажите, что множество матриц

G_{0} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : a \neq 0\right\} \subset GL(2,\mathbb {C})

образует группу относительно умножения матриц.

(ii)

Коммутативна ли группа?

(iii)

Найдите центр группы.

Задача 1.90

Группа $SL(2,\mathbb {R})$ задаётся матрицами

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad a,b,c,d \in \mathbb {R}, \quad ad-bc=1 .

Найдите центр $SL(2,\mathbb {R})$ .

Задача 1.91

(i)(ii)

Пусть $A$ -- матрица $n \times n$ . Тогда операция vec определяется как

\operatorname {vec}(A) := (a_{11},\ldots ,a_{n1},a_{12},\ldots ,a_{1n},\ldots ,a_{nn})^{T}

т.е. мы складываем столбцы друг под другом. Рассмотрим матрицы Паули $\sigma_{x}$ и $\sigma_{z}$

\sigma _{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{z} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Тогда как $\left\{ \sigma_{x}, I_{2}\right\}$ , так и $\left\{ \sigma_{z}, I_{2}\right\}$ образуют группу относительно умножения матриц.

(i)

Пусть $\otimes$ -- произведение Кронекера. Покажите, что $\left\{ \sigma_{z} \otimes \sigma_{x}, I_{2} \otimes I_{2}\right\}$ образует группу относительно умножения матриц.

(ii)

Покажите, что $\operatorname {vec}(\sigma_{x}) = (\sigma_{z} \otimes \sigma_{x})\operatorname {vec}(\sigma_{z})$ .

Задача 1.92

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим группу, заданную матрицами

I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

и умножением матриц. Пусть $x, y \in \mathbb {R}$ . Найдите решения уравнения

(xI_{2}+yU)^{2} = xI_{2}+yU .

(ii)

Используя результаты (i), покажите, что матрицы $xI_{2}+yU$ являются проекционными матрицами.

Задача 1.93

Тетраэдрическая группа $T$ имеет порядок $12$ . Её можно породить, беря степени произведений матриц $3 \times 3$

g_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad g_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} .

Заметим, что $g_{2}$ -- матрица перестановки. Вычислите порядки $g_{1}$ и $g_{2}$ .

Задача 1.94

(i)(ii)

Пусть $G$ -- конечная группа. Для конечной группы $G$ число классов сопряжённости равно числу неэквивалентных неприводимых матричных представлений. Пусть $\left\{ C_{1},\ldots ,C_{r}\right\}$ -- множество классов сопряжённости, причём $C_{1}$ полагается классом сопряжённости $1$ -- нейтрального элемента конечной группы $G$ . Таким образом, $C_{1} = \left\{ 1\right\}$ . Пусть $\left\{ \chi_{1},\ldots ,\chi_{r}\right\}$ -- множество различных неприводимых характеров группы $G$ . Выберем $\chi_{1}$ тривиальным характером группы $G$ , т.е. $\chi_{1}(g)=1$ для всех $g \in G$ . Тогда таблица характеров -- это таблица $r \times r$ $X(G) = (a_{jk})$ , определённая как $a_{jk} = \chi_{j}(c_{k})$ для всех $j,k = 1,\ldots ,r$ , где $c_{k}$ -- любой элемент $C_{k}$ . Значение характера постоянно на каждом классе сопряжённости.

(i)

Пусть $\omega = e^{2\pi i/3}$ . Покажите, что $1, \omega , \omega^{2}$ образуют группу относительно умножения.

(ii)

Найдите таблицу характеров циклической группы $C_{3}$ .

Задача 1.95

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим шесть матриц перестановок $3 \times 3$

P_{123} = \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}, \quad P_{132} = \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}, \quad P_{213} = \begin{pmatrix} 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix},

P_{231} = \begin{pmatrix} 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}, \quad P_{312} = \begin{pmatrix} 0& 0& 1 \\ 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}, \quad P_{321} = \begin{pmatrix} 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}

которые образуют группу относительно умножения матриц.

(i)

Найдите классы сопряжённости.

(ii)

Найдите неприводимые представления.

(iii)

Выпишите таблицу характеров.

Задача 1.96

(i)(ii)

Группа диэдра $D_{3}$ -- некоммутативная группа порядка $6$ . Таблица группы такова

\begin{array}{c|cccccc} \bullet & I & A & B & C & D & E \\ \hline I & I & A & B & C & D & E \\ A & A & B & I & D & E & C \\ B & B & I & A & E & C & D \\ C & C & E & D & I & B & A \\ D & D & C & E & A & I & B \\ E & E & D & C & B & A & I \end{array}

где $I$ -- нейтральный элемент.

(i)

Найдите точное представление матрицами $2 \times 2$ , отправляясь от матриц

\begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix} \quad \text{и} \quad \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ \sin \phi & -\cos \phi \end{pmatrix} .

Определитель матрицы слева равен $+1$ (что включает единичную матрицу), а определитель справа равен $-1$ .

(ii)

Найдите классы сопряжённости.

Задача 1.97

Рассмотрим шестимерное векторное пространство $V$ , состоящее из многочленов степени $2$ от двух вещественных переменных $x_{1}, x_{2}$

p(x_{1},x_{2}) = c_{20}x_{1}^{2}+c_{11}x_{1}x_{2}+c_{02}x_{2}^{2}+c_{10}x_{1}+c_{01}x_{2}+c_{00}

где $c_{jk}$ -- вещественные константы. Рассмотрим точное представление группы диэдра, заданное матрицами $2 \times 2$ из предыдущей задачи. Найдите шестимерное представление $D_{3}$ в $V$ . Пусть

\overrightarrow {x} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \in \mathbb {R}^{2}

и $g$ -- одна из матриц $2 \times 2$ представления. Определим

O_{g}f(\overrightarrow {x}) := f(g^{-1}\overrightarrow {x}) .

Задача 1.98

Пусть $A = (a_{ij})$ -- кососимметричная матрица $2n \times 2n$ . Пфаффиан определяется как

\operatorname {Pf}(A) := \frac{1}{2^{n}n!} \sum _{\sigma \in S_{2n}} \operatorname {sgn}(\sigma ) \prod _{j=1}^{n} a_{\sigma (2j-1),\sigma (2j)}

где $S_{2n}$ -- симметрическая группа, а $\operatorname {sgn}(\sigma )$ -- знак перестановки $\sigma$ . Рассмотрим случай $n=2$ , т.е.

A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 \end{pmatrix} .

Вычислите $\operatorname {Pf}(A)$ .

Задача 1.99

Действием или реализацией группы $G$ на множестве $M$ называется отображение $\varphi_{g}$

\varphi _{g} : \overrightarrow {x} \mapsto \overrightarrow {x}' = \varphi _{g}(\overrightarrow {x})

где $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {x}' \in M$ и $g \in G$ . С каждым $g \in G$ отождествляется функция, и

\varphi _{e}(\overrightarrow {x}) = x, \qquad \varphi _{g_{1}} \circ \varphi _{g_{2}} = \varphi _{g_{2}g_{1}}

для всех $\overrightarrow {x} \in M$ и $g_{1}, g_{2}, e$ (нейтральный элемент) $\in G$ . Пусть $x_{1} \sim x_{2}$ тогда и только тогда, когда существует $g \in G$ такой, что $\varphi_{g}(x_{1}) = x_{2}$ . Покажите, что $\sim$ определяет отношение эквивалентности.

Задача 1.100

(i)(ii)

Пусть $n \geq 3$ , и пусть $\sigma_{1}, \ldots , \sigma_{n-1}$ -- образующие группы кос $\mathcal{B}_{n}$ . Группа кос $\mathcal{B}_{n}$ на $n$ нитях при $n \geq 3$ имеет конечное представление $B_{n}$ , заданное как

\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1} : \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}, \ \sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}=\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}\right\rangle

где $1 \leq i,j < n-1$ , $\left|i-j\right|>1$ или $j=n-1$ . Здесь $\sigma_{i}\sigma_{j}=\sigma_{j}\sigma_{i}$ и $\sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i}=\sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1}$ называются соотношениями кос. Второе соотношение также называется уравнением Янга-Бакстера.

(i)

Рассмотрим $B_{3}$ , $a=\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{1}$ и $b=\sigma_{1}\sigma_{2}$ . Покажите, что $a^{2}=b^{3}$ .

(ii)

Рассмотрим $B_{3}$ . Смежные классы $[\sigma_{1}]$ элемента $\sigma_{1}$ и $[\sigma_{2}]$ элемента $\sigma_{2}$ отображаются в матрицы $2 \times 2$

[\sigma _{1}] \mapsto R = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad [\sigma _{2}] \mapsto L^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

где $L, R \in SL(2,\mathbb {Z})$ . Таким образом, $L^{-1}, R^{-1} \in SL(2,\mathbb {Z})$ . Покажите, что

RL^{-1}R = L^{-1}RL^{-1} .

1.1 · Задачи на программирование[2/100%]

Задача 1.101

Приведите эффективную реализацию группы на C++ и LISP. Для C++ используйте map<pair<G,G>,G> или map<G,map<G,G> > из стандартной библиотеки шаблонов. Класс map в C++ реализует отношение "многие к одному" между ключами и значениями. Класс map -- это шаблонный класс map<keytype,valuetype>, который можно использовать подобно массивам, т.е. m[key]=value. Рассмотрим, например, простейшую нетривиальную группу $\left\{ a,b\right\}$ с групповой операцией $\cdot$ , заданной как $a \cdot a = b \cdot b = a$ и $a \cdot b = b \cdot a = b$ .

Задача 1.102

Рассмотрим группу перестановок $S_{3}$ . Напишите программу на C++ для композиции элементов группы, используя класс map стандартной библиотеки шаблонов. Затем реализуйте обратный элемент для каждого элемента группы. Наконец, определим классы сопряжённости. Группа состоит из шести элементов, которые мы обозначаем $a[0], a[1], \ldots , a[5]$ . Нейтральный (единичный) элемент обозначается $a[0]$ . Таким образом, имеем

a[0]*a[j] = a[j]*a[0] = a[j]

для $j=0,1,\ldots ,5$ .

1.2 · Дополнительные задачи[8/0%]

Задача 1.103

Пусть $A, B$ -- матрицы $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ . Определим композицию

A \bullet B := A+B-2AB .

Определяет ли эта композиция группу? Нейтральный элемент -- $0_{3}$ .

Задача 1.104

Рассмотрим множество

G = \left\{ (a,b) \in \mathbb {R}^{2} : -\infty < a < \infty , \ 0 \leq b < 2\pi \right\} .

Определим композицию $(a,b) \bullet (c,d) := (ac, (b+d) \bmod 2\pi )$ . Покажите, что эта композиция определяет группу.

Задача 1.105

Пусть $m \in \mathbb {Z}$ , $m \geq 2$ , и пусть $G(m)$ -- группа матриц $2 \times 2$ с определителем $\pm 1$ и элементами из кольца $\mathbb {Z}/m\mathbb {Z}$ , т.е.

G(m) := \left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} : a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} \in \mathbb {Z}/m\mathbb {Z}, \ \left|a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\right|=1\right\} .

Покажите, что множество $G(m)$ образует конечную группу относительно умножения матриц.

Задача 1.106

Покажите, что существует только одна группа порядка три. Коммутативна ли группа? Изоморфна ли группа некоторой подгруппе группы $S_{3}$ ?

Задача 1.107

Пусть $\phi : G \rightarrow H$ -- гомоморфизм между группами $G$ и $H$ . Покажите, что $\ker (\phi )$ -- нормальная подгруппа группы $G$ .

Задача 1.108

Пусть $\alpha , \beta , \phi \in \mathbb {R}$ и $\alpha , \beta \neq 0$ . Рассмотрим матрицы

A(\alpha ,\beta ,\phi ) = \begin{pmatrix} \alpha \cos \phi & -\beta \sin \phi \\ \beta ^{-1}\sin \phi & \alpha ^{-1}\cos \phi \end{pmatrix} .

Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

Задача 1.109

Пусть $S_{n}$ -- группа всех перестановок $n$ объектов. Покажите, что каждая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок.

Задача 1.110

Пусть $G$ -- группа. Автоморфизм группы $G$ -- это изоморфизм, отображающий $G$ на себя. Покажите, что множество $\operatorname {Aut}(G)$ автоморфизмов группы $G$ образует группу относительно операции композиции автоморфизмов.