Двойственность в банаховых пространствах

Пусть $\phi$ — вложение $X$ в $X^{* *}$, описанное в разделе 4.5. Пусть $\tau$ — слабая топология $X$, и пусть $\sigma$ — слабая*-топология $X^{* *}$ — та, что индуцирована $X^{*}$.

Какие из пространств $c_{0}, \ell^{1}, \ell^{p}, \ell^{\infty }$ рефлексивны? Докажите, что каждое конечномерное нормированное пространство рефлексивно. Докажите, что $C$, нормированное супремумом пространство всех комплексных непрерывных функций на единичном интервале, не рефлексивно.

Докажите, что подмножество $E$ пространства $\mathscr {B}(X, Y)$ равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда существует $M < \infty$, такое что $\left\| \Lambda \right\| \leq M$ для каждого $\Lambda \in E$.

Вспомните, что $X^{*} = \mathscr {B}(X, \mathscr {C})$, если $\mathscr {C}$ — скалярное поле. Следовательно, $\Lambda^{*} \in \mathscr {B}\left(\mathbb {C}, X^{*}\right)$ для каждого $\Lambda \in X^{*}$. Определите область значений $\Lambda^{*}$.

Докажите, что $T \in \mathscr {B}(X, Y)$ является изометрией $X$ на $Y$ тогда и только тогда, когда $T^{*}$ является изометрией $Y^{*}$ на $X^{*}$.

Пусть $\sigma$ и $\tau$ — слабые*-топологии $X^{*}$ и $Y^{*}$ соответственно, и докажите, что $S$ является непрерывным линейным отображением $\left(Y^{*}, \tau \right)$ в $\left(X^{*}, \sigma \right)$ тогда и только тогда, когда $S = T^{*}$ для некоторого $T \in \mathscr {B}(X, Y)$.

Пусть $L^{1}$ — обычное пространство интегрируемых функций на замкнутом единичном интервале $J$, относительно меры Лебега. Пусть $T \in \mathscr {B}\left(L^{1}, Y\right)$, так что $T^{*} \in \mathscr {B}\left(Y^{*}, L^{\infty }\right)$. Пусть $\mathscr {R}\left(T^{*}\right)$ содержит каждую непрерывную функцию на $J$. Что вы можете заключить о $T$?

Докажите, что $(S T)^{*} = T^{*} S^{*}$. Приведите условия, при которых это имеет смысл.

Пусть $S \in \mathscr {B}(X), T \in \mathscr {B}(X)$.

Пусть $T \in \mathscr {B}(X)$ компактен, и пусть либо $\operatorname {dim} X = \infty$, либо скалярное поле есть $\mathbb {C}$. Докажите, что $\sigma (T)$ не пусто. Однако $\sigma (T)$ может быть пустым, если $\operatorname {dim} X < \infty$ и скалярное поле есть $\mathbb {R}$.

Пусть $\operatorname {dim} X < \infty$, и покажите, что равенство $\beta^{*} = \beta$ теоремы 4.25 сводится к утверждению, что ранг строк квадратной матрицы равен рангу столбцов.

Пусть $T \in \mathscr {B}(X, Y)$, и $\mathscr {R}(T)$ замкнуто в $Y$. Докажите, что

Это обобщает утверждения $\alpha = \beta^{*}$ и $\alpha^{*} = \beta$ теоремы 4.25.

Определим оператор сдвига $S$ и оператор умножения $M$ на $\ell^{2}$ формулами

Положим $T = M S$. Покажите, что $T$ — компактный оператор, не имеющий собственных значений и спектр которого состоит ровно из одной точки. Вычислите $\left\| T^{n}\right\|$, для $n = 1,2,3, \ldots$, и вычислите $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| T^{n}\right\|^{1 / n}$.

Пусть $\mu$ — конечная (или $\sigma$-конечная) положительная мера на измеримом пространстве $\Omega , \mu \times \mu$ — соответствующая произведение-мера на $\Omega \times \Omega$, и $K \in L^{2}(\mu \times \mu )$. Определим

Определим

и определим $T \in \mathscr {B}\left(L^{2}(0,1)\right)$ формулой

Если $L^{2} = L^{2}(0, \infty )$ относительно меры Лебега, и если

докажите, что $T \in \mathscr {B}\left(L^{2}\right)$ и что $T$ не компактен. (Факт, что $\left\| T\right\| \leq 2$, является частным случаем неравенства Харди. См. с. 72 в [23]).

Докажите следующие утверждения:

Пусть $Y$ — замкнутое подпространство $X$, и $x_{0}^{*} \in X^{*}$. Положим

Иными словами, $\mu$ — норма ограничения $x_{0}^{*}$ на $Y$, а $\delta$ — расстояние от $x_{0}^{*}$ до аннулятора $Y$. Докажите, что $\mu = \delta$. Докажите также, что $\delta = \left\| x^{*}-x_{0}^{*}\right\|$ хотя бы для одного $x^{*} \in Y^{\perp }$.

Распространите разделы с 4.6 по 4.9 на локально выпуклые пространства. (Слово "изометрический", разумеется, следует опустить в формулировке теоремы 4.9).

Пусть $B$ и $B^{*}$ — замкнутые единичные шары в $X$ и $X^{*}$ соответственно. Следующее утверждение является обращением теоремы Банаха–Алаоглу: если $E$ — выпуклое множество в $X^{*}$, такое что $E \cap \left(r B^{*}\right)$ слабо*-компактно для каждого $r > 0$, то $E$ слабо*-замкнуто. (Следствие: подпространство $X^{*}$ слабо*-замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечение с $B^{*}$ слабо*-компактно).

Дополните следующий план доказательства.

(i) $E$ замкнуто по норме.

(ii) Сопоставим каждому $F \subset X$ его поляру

Пересечение всех множеств $P(F)$, где $F$ пробегает семейство всех конечных подмножеств $r^{-1} B$, в точности равно $r B^{*}$.

(iii) Теорема является следствием следующего предложения: если, в дополнение к указанным условиям, $E \cap B^{*} = \varnothing$, то существует $x \in X$, такое что $\mathrm{Re}\left( \left\langle x, x^{*} \right\rangle \right) \geq 1$ для каждого $x^{*} \in E$.

(iv) Доказательство предложения: положим $F_{0} = \left\{ 0\right\}$. Предположим, что конечные множества $F_{0}, \ldots , F_{k-1}$ выбраны так, что $i F_{i} \subset B$ и так, что

Заметьте, что (1) верно при $k = 1$. Положим

Если $P(F) \cap Q \neq \varnothing$ для каждого конечного множества $F \subset k^{-1} B$, то слабая*-компактность $Q$ вместе с (ii) влечёт, что $\left(k B^{*}\right) \cap Q \neq \varnothing$, что противоречит (1). Следовательно, существует конечное множество $F_{k} \subset k^{-1} B$, такое что (1) выполняется с $k+1$ вместо $k$. Таким образом, построение можно продолжить. Оно даёт

Расположим элементы $\bigcup F_{k}$ в последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$. Тогда $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow 0$. Определим $T: X^{*} \rightarrow c_{0}$ формулой

Тогда $T(E)$ — выпуклое подмножество $c_{0}$. По (2),

для каждого $x^{*} \in E$. Следовательно, существует скалярная последовательность $\left\{ \alpha_{n}\right\}$, с $\sum \left|\alpha_{n}\right| < \infty$, такая что

для каждого $x^{*} \in E$. Чтобы завершить доказательство, положим $x = \sum \alpha_{n} x_{n}$.

Пусть $T \in \mathscr {B}(X), T$ компактен, $\lambda \neq 0$, и $S = T-\lambda I$.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в банаховом пространстве $X$, и

Докажите, что ряд $\sum x_{n}$ сходится к некоторому $x \in X$. Точнее, докажите, что

Докажите также, что $\left\| x\right\| \leq M$. (Эти факты использовались в доказательстве теоремы 4.13).

Пусть $c$ — пространство всех комплексных последовательностей

для которых существует $x_{\infty } = \lim x_{n}$ (в $\mathbb {C}$). Положим $\left\| x\right\| = \sup \left|x_{n}\right|$. Пусть $c_{0}$ — подпространство $c$, состоящее из всех $x$ с $x_{\infty } = 0$.

Если $T \in \mathscr {B}(X, Y)$ и $\mathscr {R}\left(T^{*}\right) = \mathscr {N}(T)^{\perp }$, докажите, что $\mathscr {R}(T)$ замкнуто.

Пусть $T \in \mathscr {B}(X, Y)$ и $T(X) = Y$. Покажите, что существует $\delta > 0$, такое что $S(X) = Y$ для всех $S \in \mathscr {B}(X, Y)$ с $\left\| S-T\right\| < \delta$.

Пусть $T \in \mathscr {B}(X)$. Докажите, что $\lambda \in \sigma (T)$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ в $X,\left\| x_{n}\right\| = 1$, для которой