Полнота

Если $X$ — бесконечномерное топологическое векторное пространство, являющееся объединением счётного числа конечномерных подпространств, докажите, что $X$ имеет первую категорию в себе. Докажите, что, следовательно, ни одно бесконечномерное $F$-пространство не имеет счётного базиса Гамеля. (Множество $\beta$ называется базисом Гамеля векторного пространства $X$, если $\beta$ — максимальное линейно независимое подмножество $X$. Иными словами, $\beta$ — базис Гамеля, если каждый $x \in X$ имеет единственное представление в виде конечной линейной комбинации элементов $\beta$).

Множества первой и второй категории являются "малыми" и "большими" в топологическом смысле. Эти понятия различаются, когда "малое" и "большое" понимаются в смысле меры, даже если мера тесно связана с топологией. Чтобы убедиться в этом, постройте подмножество единичного интервала, имеющее первую категорию, но мера Лебега которого равна 1.

Положим $K = [-1,1]$; определим $\mathscr {D}_{K}$, как в разделе 1.46 (с $\mathbb {R}$ вместо $\mathbb {R}^{n}$). Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность интегрируемых по Лебегу функций, такая что

существует для каждой $\phi \in \mathscr {D}_{K}$. Покажите, что $\Lambda$ — непрерывный линейный функционал на $\mathscr {D}_{K}$. Покажите, что существует положительное целое число $p$ и число $M < \infty$, такие что

для всех $n$. Например, если $f_{n}(t) = n^{3} t$ на $[-1 / n, 1 / n]$ и 0 в остальных точках, покажите, что это можно сделать с $p = 1$. Постройте пример, где это можно сделать с $p = 2$, но не с $p = 1$.

Пусть $L^{1}$ и $L^{2}$ — обычные пространства Лебега на единичном интервале. Докажите, что $L^{2}$ имеет первую категорию в $L^{1}$, тремя способами:

Докажите результаты, аналогичные результатам упражнения 4, для пространств $\ell^{p}$, где $\ell^{p}$ — банахово пространство всех комплексных функций $x$ на $\left\{ 0,1,2, \ldots \right\}$, у которых норма

конечна.

Определим коэффициенты Фурье $\hat{f}(n)$ функции $f \in L^{2}(T)(T$ — единичная окружность) формулой

для всех $n \in Z$ (целые числа). Положим

Докажите, что $\left\{ f \in L^{2}(T): \lim_{n \rightarrow \infty } \Lambda_{n} f \text{ существует }\right\}$ является плотным подпространством $L^{2}(T)$ первой категории.

Пусть $C(T)$ — множество всех непрерывных комплексных функций на единичной окружности $T$. Пусть $\left\{ \gamma_{n}\right\} (n \in Z)$ — комплексная последовательность, сопоставляющая каждой $f \in C(T)$ функцию $\Lambda f \in C(T)$, коэффициенты Фурье которой равны

(Обозначения такие же, как в упражнении 6). Докажите, что $\left\{ \gamma_{n}\right\}$ обладает этим свойством мультипликатора тогда и только тогда, когда существует комплексная борелевская мера $\mu$ на $T$, такая что

Указание: с нормой супремума $C(T)$ — банахово пространство. Примените теорему о замкнутом графике. Затем рассмотрите функционал

и примените теорему Рисса о представлении ([23], теор. 6.19). (Указанный выше ряд может не сходиться; используйте его только для тригонометрических многочленов).

Определим функционалы $\Lambda_{m}$ на $\ell^{2}$ (см. упражнение 5) формулой

Определим $x_{n} \in \ell^{2}$ равенствами $x_{n}(n) = 1 / n, x_{n}(i) = 0$ если $i \neq n$. Пусть $K \subset \ell^{2}$ состоит из $0, x_{1}, x_{2}$, $x_{3}, \ldots$ Докажите, что $K$ компактно. Вычислите $\Lambda_{m} x_{n}$. Покажите, что $\left\{ \Lambda_{m} x\right\}$ ограничена для каждого $x \in K$, но $\left\{ \Lambda_{m} x_{m}\right\}$ — нет. Таким образом, выпуклость нельзя опустить в условиях теоремы 2.9.

Выберите $c_{n} > 0$ так, чтобы $\sum c_{n} = 1, \sum n c_{n} = \infty$. Возьмите $x = \sum c_{n} x_{n}$. Покажите, что $x$ лежит в замкнутой выпуклой оболочке $K$ (по определению это замыкание выпуклой оболочки) и что $\left\{ \Lambda_{m} x\right\}$ не ограничена.

Покажите, что выпуклая оболочка $K$ не замкнута.

Пусть $X, Y, Z$ — банаховы пространства, и

билинейно и непрерывно. Докажите, что существует $M < \infty$, такое что

Нужна ли здесь полнота?

Докажите, что билинейное отображение непрерывно, если оно непрерывно в начале координат $(0,0)$.

Определим $B\left(x_{1}, x_{2} ; y\right) = \left(x_{1} y, x_{2} y\right)$. Покажите, что $B$ — билинейное непрерывное отображение $\mathbb {R}^{2} \times R$ на $\mathbb {R}^{2}$, не являющееся открытым в точке $(1,1 ; 0)$. Найдите все точки, в которых это $B$ открыто.

Пусть $X$ — нормированное пространство всех действительных многочленов от одной переменной, с

Положим $B(f, g) = \int_{0}^{1} f(t) g(t) d t$, и покажите, что $B$ — билинейный функционал на $X \times X$, который раздельно непрерывен, но не непрерывен.

Пусть $X$ — топологическое векторное пространство второй категории в себе. Пусть $K$ — замкнутое, выпуклое, поглощающее подмножество $X$. Докажите, что $K$ содержит некоторую окрестность 0. Указание: сначала покажите, что $H = K \cap (-K)$ поглощающее. По категорийному рассуждению, $H$ имеет непустую внутренность. Затем используйте

Покажите, что результат неверен без выпуклости $K$, даже если $X = \mathbb {R}^{2}$. Покажите, что результат неверен, если $X$ есть $L^{2}$, топологизованное $L^{1}$-нормой (как в упражнении 4).

Пусть $X$ — $F$-пространство, и $Y$ — подпространство $X$, дополнение которого имеет первую категорию. Докажите, что $Y = X$. Указание: $Y$ должно пересекаться с $x+Y$ для каждого $x \in X$.

Пусть $X$ и $K$ — метрические пространства, $K$ компактно, и график $f: X \rightarrow K$ является замкнутым подмножеством $X \times K$. Докажите, что $f$ непрерывна. (Это аналог теоремы 2.15, но гораздо проще). Покажите, что компактность $K$ нельзя опустить в условиях, даже когда $X$ компактно.