Топологические векторные пространства

Пусть $X$ — векторное пространство. Все множества, упомянутые ниже, понимаются как подмножества $X$. Докажите следующие утверждения, исходя из аксиом, приведённых в разделе 1.4. (Некоторые из них неявно используются в тексте).

Выпуклой оболочкой множества $A$ в векторном пространстве $X$ называется множество всех выпуклых комбинаций элементов $A$, то есть множество всех сумм

в которых $x_{i} \in A, t_{i} \geq 0, \sum t_{i} = 1 ; n$ произвольно. Докажите, что выпуклая оболочка $A$ выпукла и что она является пересечением всех выпуклых множеств, содержащих $A$.

Пусть $X$ — топологическое векторное пространство. Все множества, упомянутые ниже, понимаются как подмножества $X$. Докажите следующие утверждения.

Пусть $B = \left\{ \left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathbb {C}^{2}:\left|z_{1}\right| \leq \left|z_{2}\right|\right\}$. Покажите, что $B$ уравновешено, но его внутренность — нет.

Рассмотрим определение "ограниченного множества", данное в разделе 1.6. Изменилось бы содержание этого определения, если бы требовалось лишь, чтобы для каждой окрестности $V$ точки 0 нашлось такое $t > 0$, что $E \subset t V$?

Докажите, что множество $E$ в топологическом векторном пространстве ограничено тогда и только тогда, когда каждое его счётное подмножество ограничено.

Пусть $X$ — векторное пространство всех комплексных функций на единичном интервале $[0,1]$, топологизованное семейством полунорм

Эта топология называется топологией поточечной сходимости. Обоснуйте эту терминологию.

Покажите, что существует последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $X$, такая что

Пусть

Пусть $X$ и $Y$ — топологические векторные пространства, $\operatorname {dim} Y < \infty , \Lambda : X \rightarrow Y$ линейно, и $\Lambda (X) = Y$.

Если $N$ — подпространство векторного пространства $X$, коразмерностью $N$ в $X$ по определению называется размерность фактор-пространства $X / N$.

Пусть $0 < p < 1$, и докажите, что каждое подпространство конечной коразмерности плотно в $L^{p}$. (См. раздел 1.47).

Пусть $d_{1}(x, y) = \left|x-y\right|, d_{2}(x, y) = \left|\phi (x)-\phi (y)\right|$, где $\phi (x) = x /(1+\left|x\right|)$. Докажите, что $d_{1}$ и $d_{2}$ — метрики на $\mathbb {R}$, порождающие одну и ту же топологию, хотя $d_{1}$ полна, а $d_{2}$ — нет.

Пусть $C$ — векторное пространство всех комплексных непрерывных функций на [0,1]. Определим

Пусть $(C, \sigma )$ — $C$ с топологией, порождённой этой метрикой. Пусть $(C, \tau )$ — топологическое векторное пространство, определённое полунормами

в соответствии с теоремой 1.37.

Положим $K = [0,1]$ и определим $\mathscr {D}_{K}$, как в разделе 1.46. Покажите, что следующие три семейства полунорм (где $n = 0,1,2, \ldots$) задают одну и ту же топологию на $\mathscr {D}_{K}$, если $D = d / d x$:

Докажите, что пространства $C(\Omega )$ (раздел 1.44) не обладают свойством Гейне–Бореля.

Докажите, что топология $C(\Omega )$ не зависит от конкретного выбора $\left\{ K_{n}\right\}$, если только эта последовательность удовлетворяет условиям, указанным в разделе 1.44. Сделайте то же самое для $C^{\infty }(\Omega )$ (раздел 1.46).

В условиях раздела 1.46 докажите, что $f \rightarrow D^{\alpha } f$ является непрерывным отображением $C^{\infty }(\Omega )$ в $C^{\infty }(\Omega )$, а также $\mathscr {D}_{K}$ в $\mathscr {D}_{K}$, для каждого мультииндекса $\alpha$.

Докажите утверждение о сложении в двоичной системе, использованное в конце доказательства теоремы 1.24.

Пусть $M$ — плотное подпространство топологического векторного пространства $X, Y$ — $F$-пространство, и $\Lambda : M \rightarrow Y$ непрерывно (относительно топологии, которую $M$ наследует от $X$) и линейно. Докажите, что $\Lambda$ имеет непрерывное линейное продолжение $\overline{\Lambda }: X \rightarrow Y$.

Указание: пусть $V_{n}$ — уравновешенные окрестности 0 в $X$, такие что $V_{n}+V_{n} \subset V_{n-1}$ и такие что $d(0, \Lambda x) < 2^{-n}$, если $x \in M \cap V_{n}$. Если $x \in X$ и $x_{n} \in \left(x+V_{n}\right) \cap M$, покажите, что $\left\{ \Lambda x_{n}\right\}$ — последовательность Коши в $Y$, и определите $\overline{\Lambda } x$ как её предел. Покажите, что $\overline{\Lambda }$ определено корректно, что $\overline{\Lambda } x = \Lambda x$, если $x \in M$, и что $\overline{\Lambda }$ линейно и непрерывно.

Для каждого действительного числа $t$ и каждого целого числа $n$ определим $e_{n}(t) = e^{i n t}$, и определим

Будем рассматривать эти функции как элементы $L^{2}(-\pi , \pi )$. Пусть $X_{1}$ — наименьшее замкнутое подпространство $L^{2}$, содержащее $e_{0}, e_{1}, e_{2}, \ldots$, и пусть $X_{2}$ — наименьшее замкнутое подпространство $L^{2}$, содержащее $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots$ Покажите, что $X_{1}+X_{2}$ плотно в $L^{2}$, но не замкнуто. Например, вектор

принадлежит $L^{2}$, но не принадлежит $X_{1}+X_{2}$. (Сравните с теоремой 1.42).

Пусть $V$ — окрестность 0 в топологическом векторном пространстве $X$. Докажите, что существует действительная непрерывная функция $f$ на $X$, такая что $f(0) = 0$ и $f(x) = 1$ вне $V$. (Таким образом, $X$ является вполне регулярным топологическим пространством). Указание: пусть $V_{n}$ — уравновешенные окрестности 0, такие что $V_{1}+V_{1} \subset V$ и $V_{n+1}+V_{n+1} \subsetneq V_{n}$. Постройте $f$, как в доказательстве теоремы 1.24. Покажите, что $f$ непрерывна в 0 и что

Если $f$ — комплексная функция, определённая на компактном интервале $I = [0,1] \subset R$, определим

Если $0 < \alpha \leq 1$, соответствующее липшицево пространство Lip $\alpha$ состоит из всех $f$, для которых

конечно. Определим

Докажите, что $\operatorname {Lip} \alpha$ — банахово пространство и что $\operatorname {lip} \alpha$ — замкнутое подпространство $\operatorname {Lip} \alpha$.

Пусть $X$ — векторное пространство всех непрерывных функций на открытом отрезке $(0,1)$. Для $f \in X$ и $r > 0$ пусть $V(f, r)$ состоит из всех $g \in X$, таких что $\left|g(x)-f(x)\right| < r$ для всех $x \in (0,1)$. Пусть $\tau$ — топология на $X$, порождаемая этими множествами $V(f, r)$. Покажите, что сложение $\tau$-непрерывно, а умножение на скаляр — нет.

Покажите, что множество $W$, фигурирующее в доказательстве теоремы 1.14, не обязано быть выпуклым, и что $A$ не обязано быть уравновешенным, если только $U$ не выпукло.