Преобразования Фурье

Пусть $f \in L^{1}, f > 0$. Докажите, что $\left|\hat{f}(y)\right| < \hat{f}(0)$ для каждого $y \neq 0$.

Вычислите преобразование Фурье характеристической функции интервала. Для $n = 1,2,3, \ldots$ пусть $g_{n}$ — характеристическая функция $[-n, n]$, пусть $h$ — характеристическая функция $[-1,1]$, и вычислите $g_{n} * h$ явно. (График кусочно линеен). Покажите, что $g_{n} * h$ — преобразование Фурье некоторой функции $f_{n} \in L^{\mathbf{1}}$; с точностью до мультипликативной константы,

Покажите, что $\left\| f_{n}\right\|_{1} \rightarrow \infty$, и заключите, что отображение $f \rightarrow \hat{f}$ отображает $L^{1}$ в собственное подмножество $C_{0}$. Покажите, однако, что образ этого отображения плотен в $C_{0}$.

Найдите

где $\lambda$ — положительная константа.

Приведите примеры $f \in L^{2}$ таких, что $f \notin L^{1}$, но $\hat{f} \in L^{1}$. При каких обстоятельствах это может случиться?

Если $f \in L^{1}$ и $\int \left|t \hat{f}(t)\right| d m(t) < \infty$, докажите, что $f$ совпадает п.в. с дифференцируемой функцией, производная которой равна

Пусть $f \in L^{1}$, $f$ дифференцируема почти всюду, и $f^{\prime } \in L^{1}$. Следует ли отсюда, что преобразование Фурье $f^{\prime }$ равно $i t \hat{f}(t)$?

Пусть $S$ — класс всех функций $f$ на $\mathbb {R}^{1}$, обладающих следующим свойством: $f$ бесконечно дифференцируема, и существуют числа $A_{m n}(f) < \infty$ при $m$ и $n = 0,1,2, \ldots$, такие что

Здесь $D$ — обычный оператор дифференцирования. Докажите, что преобразование Фурье отображает $S$ на $S$. Приведите примеры элементов $S$.

Если $p$ и $q$ — сопряжённые показатели, $f \in L^{p}, g \in L^{q}$, и $h = f * g$, докажите, что $h$ равномерно непрерывна. Если также $1 < p < \infty$, то $h \in C_{0}$; покажите, что это неверно для некоторых $f \in L^{1}, g \in L^{\infty }$.

Пусть $1 \leq p < \infty , f \in L^{p}$, и

Докажите, что $g \in C_{0}$. Что можно сказать о $g$, если $f \in L^{\infty }$?

Пусть $C^{\infty }$ — класс всех бесконечно дифференцируемых комплексных функций на $\mathbb {R}^{1}$, и пусть $C_{c}^{\infty }$ состоит из всех $g \in C^{\infty }$, носители которых компактны. Покажите, что $C_{c}^{\infty }$ не состоит из одного лишь нуля.

Пусть $L_{\text{loc }}^{1}$ — класс всех $f$, принадлежащих $L^{1}$ локально; то есть $f \in L_{\text{loc }}^{1}$, если $f$ измерима и $\int_{I}\left|f\right| < \infty$ для каждого ограниченного интервала $I$.

Если $f \in L_{\mathrm{loc}}^{1}$ и $g \in C_{c}^{\infty }$, докажите, что $f * g \in C^{\infty }$. Докажите, что существуют последовательности $\left\{ g_{n}\right\}$ в $C_{c}^{\infty }$ такие, что

при $n \rightarrow \infty$, для каждой $f \in L^{1}$. (Сравните с теоремой 9.10). Докажите, что $\left\{ g_{n}\right\}$ можно также выбрать так, чтобы $\left(f * g_{n}\right)(x) \rightarrow f(x)$ п.в. для каждой $f \in L_{\mathrm{loc}}^{1}$; в действительности, при подходящей $\left\{ g_{n}\right\}$ сходимость имеет место в каждой точке $x$, в которой $f$ является производной своего неопределённого интеграла.

Докажите, что $\left(f * h_{\lambda }\right)(x) \rightarrow f(x)$ п.в., если $f \in L^{\text{1 }}$, при $\lambda \rightarrow 0$, и что $f * h_{\lambda } \in C^{\infty }$, хотя $h_{\lambda }$ не имеет компактного носителя. ($h_{\lambda }$ определена в разделе 9.7).

Найдите условия на $f$ и/или $\hat f$, которые обеспечивают корректность следующего формального рассуждения: если

и

то $F$ периодична с периодом $2 \pi$, $n$-й коэффициент Фурье $F$ равен $\varphi (n)$, следовательно $F(x) = \sum \varphi (n) e^{i n x}$. В частности,

В более общем случае,

Что говорит () о пределе, при $\alpha \rightarrow 0$, правой части (для «хороших» функций, разумеется)? Согласуется ли это с теоремой обращения? [() известна как формула суммирования Пуассона].

Возьмите $f(x) = e^{-\left|x\right|}$ в упражнении 11 и выведите тождество

Если $0 < c < \infty$, определим $f_{c}(x) = \exp \left(-c x^{2}\right)$.

Преобразование Фурье можно определить для $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}\right)$ формулой

где $x \cdot y = \sum \xi_{i} \eta_{i}$, если $x = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{k}\right), y = \left(\eta_{1}, \ldots , \eta_{k}\right)$, а $m_{k}$ — мера Лебега на $\mathbb {R}^{k}$, для удобства делённая на $(2 \pi )^{k / 2}$. Докажите теорему обращения и теорему Планшереля в этом контексте, а также аналог теоремы 9.23.

Если $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}\right), A$ — линейный оператор на $\mathbb {R}^{k}$, и $g(x) = f(A x)$, как $\hat{g}$ связано с $\hat{f}$? Если $f$ инвариантна относительно вращений, то есть если $f(x)$ зависит только от евклидова расстояния $x$ от начала координат, докажите, что то же самое верно для $\hat f$.

Лапласиан функции $f$ на $\mathbb {R}^{k}$ равен

при условии, что частные производные существуют. Какова связь между $\hat{f}$ и $\hat{g}$, если $g = \Delta f$ и выполнены все необходимые условия интегрируемости? Ясно, что лапласиан коммутирует со сдвигами. Докажите, что он также коммутирует с вращениями, то есть что

всякий раз, когда $f$ имеет непрерывные вторые производные и $A$ — вращение $\mathbb {R}^{k}$. (Покажите, что достаточно доказать это при дополнительном предположении, что $f$ имеет компактный носитель).

Покажите, что каждый измеримый по Лебегу характер $\mathbb {R}^{1}$ непрерывен. Сделайте то же самое для $\mathbb {R}^{k}$. (Адаптируйте часть доказательства теоремы 9.23). Сравните с упражнением 18.

Покажите (с помощью теоремы Хаусдорфа о максимальности), что существуют действительные разрывные функции $f$ на $\mathbb {R}^{1}$ такие, что

для всех $x$ и $y \in \mathbb {R}^{1}$. Покажите, что если выполнено (1) и $f$ измерима по Лебегу, то $f$ непрерывна. Покажите, что если выполнено (1) и график $f$ не плотен на плоскости, то $f$ непрерывна. Найдите все непрерывные функции, удовлетворяющие (1).

Пусть $A$ и $B$ — измеримые подмножества $\mathbb {R}^{1}$ конечной положительной меры. Покажите, что свёртка $\chi_{A} * \chi_{B}$ непрерывна и не тождественно равна 0. Используйте это, чтобы доказать, что $A+B$ содержит отрезок. (Другое доказательство было предложено в упражнении 5, гл. 7).