Интегрирование на произведениях пространств

Найдите монотонный класс $\mathfrak {M}$ в $\mathbb {R}^{1}$, не являющийся $\sigma$-алгеброй, хотя $\mathbb {R}^{1} \in \mathfrak {M}$ и $\mathbb {R}^{1}-A \in \mathfrak {M}$ для каждого $A \in \mathfrak {M}$.

Пусть $f$ — измеримая по Лебегу неотрицательная действительная функция на $\mathbb {R}^{1}$, и $A(f)$ — подграфик $f$. Это множество всех точек $(x, y) \in \mathbb {R}^{2}$, для которых $0 < y < f(x)$.

Найдите пример положительной непрерывной функции $f$ в открытом единичном квадрате в $\mathbb {R}^{2}$, интеграл которой (относительно меры Лебега) конечен, но такой, что $\varphi (x)$ (в обозначениях теоремы 8.8) бесконечен для некоторого $x \in (0,1)$.

Пусть $1 \leq p \leq \infty$, $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{1}\right)$, и $g \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{1}\right)$.

Пусть $M$ — банахово пространство всех комплексных борелевских мер на $\mathbb {R}^{1}$. Норма в $M$ равна $\left\| \mu \right\| = \left|\mu \right|\left(\mathbb {R}^{1}\right)$. Сопоставим каждому борелевскому множеству $E \subset \mathbb {R}^{1}$ множество

Если $\mu$ и $\lambda \in M$, определим их свёртку $\mu * \lambda$ как функцию множества, заданную формулой

для каждого борелевского множества $E \subset \mathbb {R}^{1}$; $\mu \times \lambda$ — как в определении 8.7.

(Полярные координаты в $\mathbb {R}^{k}$). Пусть $S_{k-1}$ — единичная сфера в $\mathbb {R}^{k}$, то есть множество всех $u \in \mathbb {R}^{k}$, расстояние которых от начала координат 0 равно 1. Покажите, что каждый $x \in \mathbb {R}^{k}$, кроме $x = 0$, имеет единственное представление вида $x = r u$, где $r$ — положительное действительное число и $u \in S_{k-1}$. Таким образом, $\mathbb {R}^{k}-\left\{ 0\right\}$ можно рассматривать как декартово произведение $(0, \infty ) \times S_{k-1}$.

Пусть $m_{k}$ — мера Лебега на $\mathbb {R}^{k}$, и определим меру $\sigma_{k-1}$ на $S_{k-1}$ следующим образом: если $A \subset S_{k-1}$ — борелевское множество, пусть $\tilde{A}$ — множество всех точек $r u$, где $0 < r < 1$ и $u \in A$, и определим

Докажите, что формула

верна для каждой неотрицательной борелевской функции $f$ на $\mathbb {R}^{k}$. Проверьте, что это совпадает со знакомыми результатами при $k = 2$ и при $k = 3$.

Указание: Если $0 < r_{1} < r_{2}$ и если $A$ — открытое подмножество $S_{k-1}$, пусть $E$ — множество всех $r u$ с $r_{1} < r < r_{2}, u \in A$, и проверьте, что формула верна для характеристической функции $E$. Перейдите от них к характеристическим функциям борелевских множеств в $\mathbb {R}^{k}$.

Пусть $(X, \mathscr {S}, \mu )$ и $(Y, \mathscr {T}, \lambda )$ — $\sigma$-конечные пространства с мерой, и пусть $\psi$ — мера на $\mathscr {S} \times \mathscr {T}$ такая, что

как только $A \in \mathscr {S}$ и $B \in \mathscr {T}$. Докажите, что тогда $\psi (E) = (\mu \times \lambda )(E)$ для каждого $E \in \mathscr {S} \times \mathscr {T}$.

Пусть $E$ — плотное множество в $\mathbb {R}^{1}$, и $f$ — действительная функция на $\mathbb {R}^{2}$ такая, что

Пусть $f$ — действительная функция на $\mathbb {R}^{2}$, $f_{x}$ измерима по Лебегу при каждом $x$, и $f^{y}$ непрерывна при каждом $y$. Пусть $g: \mathbb {R}^{1} \rightarrow \mathbb {R}^{1}$ измерима по Лебегу, и положим $h(y) = f(g(y), y)$. Докажите, что $h$ измерима по Лебегу на $\mathbb {R}^{1}$.

Указание: Определим $f_{n}$, как в упражнении 8, положим $h_{n}(y) = f_{n}(g(y), y)$, покажите, что каждая $h_{n}$ измерима, и что $h_{n}(y) \rightarrow h(y)$.

Пусть $\mathscr {B}_{k}$ — $\sigma$-алгебра всех борелевских множеств в $\mathbb {R}^{k}$. Докажите, что $\mathscr {B}_{m+n} = \mathscr {B}_{m} \times \mathscr {B}_{n}$. Это существенно в теореме 8.14.

Используйте теорему Фубини и соотношение

чтобы доказать, что

Если $\mu$ — комплексная мера на $\sigma$-алгебре $\mathfrak {M}$, покажите, что каждое множество $E \in \mathfrak {M}$ имеет подмножество $A$, для которого

Указание: Существует измеримая действительная функция $\theta$ такая, что $d \mu = e^{i \theta } d\left|\mu \right|$. Пусть $A_{\alpha }$ — подмножество $E$, где $\cos (\theta -\alpha ) > 0$, покажите, что

и проинтегрируйте по $\alpha$ (как в лемме 6.3). Покажите на примере, что $1 / \pi$ — наилучшая константа в этом неравенстве.

Завершите следующее доказательство неравенства Харди (гл. 3, упражнение 14): пусть $f \geq 0$ на $(0, \infty )$, $f \in L^{p}, 1 < p < \infty$, и

Запишите $x F(x) = \int_{0}^{x} f(t) t^{\alpha } t^{-\alpha } d t$, где $0 < \alpha < 1 / q$, используйте неравенство Гёльдера, чтобы получить верхнюю оценку для $F(x)^{p}$, и проинтегрируйте, чтобы получить

Покажите, что наилучший выбор $\alpha$ даёт

Положим $\varphi (t) = 1-\cos t$, если $0 \leq t \leq 2 \pi$, $\varphi (t) = 0$ для всех остальных действительных $t$. Для $-\infty < x < \infty$ определим

Проверьте следующие утверждения о свёртках этих функций:

(i) $(f * g)(x) = 0$ при всех $x$.

(ii) $(g * h)(x) = (\varphi * \varphi )(x) > 0$ на $(0,4 \pi )$.

(iii) Следовательно, $(f * g) * h = 0$, тогда как $f *(g * h)$ — положительная константа.

Но свёртка, как предполагается, ассоциативна, по теореме Фубини (упражнение 5(c)). Что пошло не так?

Докажите следующий аналог неравенства Минковского для $f \geq 0$:

Приведите необходимые предположения. (Многие дальнейшие разработки этой темы можно найти в [9]).