Комплексные меры

Если $\mu$ — комплексная мера на $\sigma$-алгебре $\mathfrak {M}$, и если $E \in \mathfrak {M}$, определим

где верхняя грань берётся по всем конечным разбиениям $\left\{ E_{i}\right\}$ множества $E$. Следует ли отсюда, что $\lambda = \left|\mu \right|$?

Докажите, что пример, приведённый в конце раздела 6.10, обладает указанными свойствами.

Докажите, что векторное пространство $M(X)$ всех комплексных регулярных борелевских мер на локально компактном хаусдорфовом пространстве $X$ является банаховым пространством, если $\left\| \mu \right\| = \left|\mu \right|(X)$.

Пусть $1 \leq p \leq \infty$, и $q$ — показатель, сопряжённый к $p$. Пусть $\mu$ — положительная $\sigma$-конечная мера, и $g$ — измеримая функция такая, что $f g \in L^{1}(\mu )$ для каждой $f \in L^{p}(\mu )$. Докажите, что тогда $g \in L^{q}(\mu )$.

Пусть $X$ состоит из двух точек $a$ и $b$; определим $\mu (\left\{ a\right\} ) = 1, \mu (\left\{ b\right\} ) = \mu (X) = \infty$, и $\mu (\varnothing ) = 0$. Верно ли для этой $\mu$, что $L^{\infty }(\mu )$ является двойственным пространством к $L^{1}(\mu )$?

Пусть $1 < p < \infty$, докажите, что $L^{q}(\mu )$ является двойственным пространством к $L^{p}(\mu )$, даже если $\mu$ не $\sigma$-конечна. (Как обычно, $1 / p+1 / q = 1$).

Пусть $\mu$ — комплексная борелевская мера на $[0,2 \pi )$ (или на единичной окружности $T$), и определим коэффициенты Фурье $\mu$ формулой

Предположим, что $\hat{\mu }(n) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow +\infty$, и докажите, что тогда $\hat{\mu }(n) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow -\infty$. Указание: Предположение верно также с $f d \mu$ вместо $d \mu$, если $f$ — любой тригонометрический многочлен, следовательно, если $f$ непрерывна, следовательно, если $f$ — любая ограниченная борелевская функция, следовательно, если $d \mu$ заменить на $d\left|\mu \right|$.

В терминологии упражнения 7 найдите все $\mu$ такие, что $\hat{\mu }$ периодична с периодом $k$.

Пусть $\left\{ g_{n}\right\}$ — последовательность положительных непрерывных функций на $I = [0,1]$, пусть $\mu$ — положительная борелевская мера на $I$, и пусть

(i) $\lim_{n \rightarrow \infty } g_{n}(x) = 0$ п.в. $[m]$,

(ii) $\int_{I} g_{n} d m =1$ при всех $n$,

(iii) $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{I} f g_{n} d m = \int_{I} f d \mu$ для каждой $f \in C(I)$.

Следует ли отсюда, что $\mu \perp m$?

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с положительной мерой. Назовём множество $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ равномерно интегрируемым, если для каждого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что

как только $f \in \Phi$ и $\mu (E) < \delta$.

Пусть $\mu$ — положительная мера на $X$, $\mu (X) < \infty$, $f_{n} \in L^{1}(\mu )$ при $n = 1,2,3, \ldots$, $f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ п.в., и существуют $p > 1$ и $C < \infty$ такие, что $\int_{x}\left|f_{n}\right|^{p} d \mu < C$ при всех $n$. Докажите, что

Указание: $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно интегрируема.

Пусть $\mathfrak {M}$ — совокупность всех множеств $E$ в единичном интервале $[0,1]$ таких, что либо $E$, либо его дополнение не более чем счётно. Пусть $\mu$ — считающая мера на этой $\sigma$-алгебре $\mathfrak {M}$. Если $g(x) = x$ при $0 \leq x \leq 1$, покажите, что $g$ не $\mathfrak {M}$-измерима, хотя отображение

имеет смысл для каждой $f \in L^{1}(\mu )$ и задаёт ограниченный линейный функционал на $L^{1}(\mu )$. Таким образом, $\left(L^{1}\right)^{*} \neq L^{\infty }$ в этой ситуации.

Пусть $L^{\infty } = L^{\infty }(m)$, где $m$ — мера Лебега на $I = [0,1]$. Покажите, что существует ограниченный линейный функционал $\Lambda \neq 0$ на $L^{\infty }$, равный 0 на $C(I)$, и что, следовательно, не существует $g \in L^{1}(m)$, удовлетворяющей $\Lambda f = \int_{I} f g d m$ для каждой $f \in L^{\infty }$. Таким образом, $\left(L^{\infty }\right)^{*} \neq L^{1}$.