Примеры методов банаховых пространств

Пусть $X$ состоит из двух точек $a$ и $b$, положим $\mu (\left\{ a\right\} ) = \mu (\left\{ b\right\} ) = \frac{1}{2}$, и пусть $L^{p}(\mu )$ — получающееся действительное $L^{p}$-пространство. Отождествим каждую действительную функцию $f$ на $X$ с точкой $(f(a), f(b))$ на плоскости и изобразите единичные шары $L^{p}(\mu )$ при $0 < p \leq \infty$. Заметьте, что они выпуклы тогда и только тогда, когда $1 \leq p \leq \infty$. При каком $p$ этот единичный шар — квадрат? Окружность? Если $\mu (\left\{ a\right\} ) \neq \mu (b)$, чем ситуация отличается от предыдущей?

Докажите, что единичный шар (открытый или замкнутый) выпукл в каждом нормированном линейном пространстве.

Если $1 < p < \infty$, докажите, что единичный шар $L^{p}(\mu )$ строго выпуклый; это означает, что если

то $\left\| h\right\|_{p} < 1$. (Геометрически, поверхность шара не содержит прямых отрезков). Покажите, что это неверно в каждом $L^{1}(\mu )$, в каждом $L^{\infty }(\mu )$ и в каждом $C(X)$. (Не учитывайте тривиальности, такие как пространства, состоящие лишь из одной точки).

Пусть $C$ — пространство всех непрерывных функций на $[0,1]$ с супремум-нормой. Пусть $M$ состоит из всех $f \in C$, для которых

Докажите, что $M$ — замкнутое выпуклое подмножество $C$, не содержащее элемента минимальной нормы.

Пусть $M$ — множество всех $f \in L^{1}([0,1])$ относительно меры Лебега, таких что

Покажите, что $M$ — замкнутое выпуклое подмножество $L^{1}([0,1])$, содержащее бесконечно много элементов минимальной нормы. (Сравните это и упражнение 4 с теоремой 4.10).

Пусть $f$ — ограниченный линейный функционал на подпространстве $M$ гильбертова пространства $H$. Докажите, что $f$ имеет единственное сохраняющее норму продолжение до ограниченного линейного функционала на $H$, и что это продолжение обращается в нуль на $M^{\perp }$.

Постройте ограниченный линейный функционал на некотором подпространстве некоторого $L^{1}(\mu )$, имеющий два (следовательно, бесконечно много) различных сохраняющих норму линейных продолжения на $L^{1}(\mu )$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $X^{*}$ — его двойственное пространство, как определено в разделе 5.21, с нормой

Пусть $c_{0}, \ell^{1}$ и $\ell^{\infty }$ — банаховы пространства, состоящие из всех комплексных последовательностей $x = \left\{ \xi_{i}\right\}$, $i = 1,2,3, \ldots$, определённые следующим образом:

$c_{0}$ — подпространство $\ell^{\infty }$, состоящее из всех $x \in \ell^{\infty }$, для которых $\xi_{i} \rightarrow 0$ при $i \rightarrow \infty$. Докажите следующие четыре утверждения.

Если $\sum \alpha_{i} \xi_{i}$ сходится для каждой последовательности $\left\{ \xi_{i}\right\}$, такой что $\xi_{i} \rightarrow 0$ при $i \rightarrow \infty$, докажите, что $\sum \left|\alpha_{i}\right| < \infty$.

Для $0 < \alpha \leq 1$ пусть Lip $\alpha$ обозначает пространство всех комплексных функций $f$ на $[a, b]$, для которых

Докажите, что Lip $\alpha$ — банахово пространство, если $\left\| f\right\| = \left|f(a)\right|+M_{f}$; также если

(Говорят, что элементы Lip $\alpha$ удовлетворяют условию Липшица порядка $\alpha$).

Пусть $K$ — треугольник (двумерная фигура) на плоскости, пусть $H$ — множество, состоящее из вершин $K$, и пусть $A$ — множество всех действительных функций $f$ на $K$ вида

Покажите, что каждой точке $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in K$ соответствует единственная мера $\mu$ на $H$ такая, что

(Сравните с разделом 5.22). Замените $K$ квадратом, пусть $H$ снова будет множеством его вершин, а $A$ — как выше. Покажите, что каждой точке $K$ по-прежнему соответствует мера на $H$ с указанным свойством, но что единственность теперь теряется.

Можете ли вы экстраполировать это на более общую теорему? (Подумайте о других фигурах, пространствах более высокой размерности).

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных комплексных функций на (непустом) полном метрическом пространстве $X$, такая что $f(x) = \lim f_{n}(x)$ существует (как комплексное число) для каждого $x \in X$.

Пусть $C$ — пространство всех действительных непрерывных функций на $I = [0,1]$ с супремум-нормой. Пусть $X_{n}$ — подмножество $C$, состоящее из тех $f$, для которых существует $t \in I$ такое, что $\left|f(s)-f(t)\right| \leq n\left|s-t\right|$ для всех $s \in I$. Зафиксируем $n$ и докажем, что каждое открытое множество в $C$ содержит открытое множество, не пересекающееся с $X_{n}$. (Каждую $f \in C$ можно равномерно приблизить зигзагообразной функцией $g$ с очень большими наклонами, и если $\left\| g-h\right\|$ мало, то $h \notin X_{n}$). Покажите, что отсюда следует существование плотного $G_{\delta }$ в $C$, состоящего целиком из нигде не дифференцируемых функций.

Пусть $A = \left(a_{i j}\right)$ — бесконечная матрица с комплексными элементами, где $i, j = 0,1,2, \ldots$. $A$ сопоставляет каждой последовательности $\left\{ s_{j}\right\}$ последовательность $\left\{ \sigma_{i}\right\}$, определённую формулой

при условии, что эти ряды сходятся. Докажите, что $A$ преобразует каждую сходящуюся последовательность $\left\{ s_{j}\right\}$ в последовательность $\left\{ \sigma_{i}\right\}$, сходящуюся к тому же пределу, тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, и пусть $\Lambda$ — линейное отображение $X$ в $Y$ со следующим свойством: для каждой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ в $X$, для которой существуют $x = \lim x_{n}$ и $y = \lim \Lambda x_{n}$, верно, что $y = \Lambda x$. Докажите, что $\Lambda$ непрерывно.

Это так называемая «теорема о замкнутом графике». Указание: Пусть $X \oplus Y$ — множество всех упорядоченных пар $(x, y), x \in X$ и $y \in Y$, со сложением и умножением на скаляр, определёнными покомпонентно. Докажите, что $X \oplus Y$ — банахово пространство, если $\left\| (x, y)\right\| = \left\| x\right\| +\left\| y\right\|$. График $G$ отображения $\Lambda$ — это подмножество $X \oplus Y$, образованное парами $(x, \Lambda x), x \in X$. Заметьте, что наше предположение говорит, что $G$ замкнуто; следовательно, $G$ — банахово пространство. Заметьте, что $(x, \Lambda x) \rightarrow x$ непрерывно, взаимно однозначно, линейно и отображает $G$ на $X$.

Заметьте, что существуют нелинейные отображения (например, $\mathbb {R}^{1}$ на $\mathbb {R}^{1}$), график которых замкнут, хотя они не непрерывны: $f(x) = 1 / x$, если $x \neq 0, f(0) = 0$.

Если $\mu$ — положительная мера, каждая $f \in L^{\infty }(\mu )$ задаёт оператор умножения $M_{f}$ на $L^{2}(\mu )$ в $L^{2}(\mu )$, такой что $M_{f}(g) = f g$. Докажите, что $\left\| M_{f}\right\| \leq \left\| f\right\|_{\infty }$. Для каких мер $\mu$ верно, что $\left\| M_{f}\right\| = \left\| f\right\|_{\infty }$ для всех $f \in L^{\infty }(\mu )$? Для каких $f \in L^{\infty }(\mu )$ $M_{f}$ отображает $L^{2}(\mu )$ на $L^{2}(\mu )$?

Пусть $\left\{ \Lambda_{n}\right\}$ — последовательность ограниченных линейных преобразований из нормированного линейного пространства $X$ в банахово пространство $Y$, пусть $\left\| \Lambda_{n}\right\| \leq M < \infty$ при всех $n$, и пусть существует плотное множество $E \subset X$ такое, что $\left\{ \Lambda_{n} x\right\}$ сходится для каждого $x \in E$. Докажите, что $\left\{ \Lambda_{n} x\right\}$ сходится для каждого $x \in X$.

Если $s_{n}$ — $n$-я частичная сумма ряда Фурье функции $f \in C(T)$, докажите, что $s_{n} / \log n \rightarrow 0$ равномерно при $n \rightarrow \infty$ для каждой $f \in C(T)$. То есть докажите, что

С другой стороны, если $\lambda_{n} / \log n \rightarrow 0$, докажите, что существует $f \in C(T)$ такая, что последовательность $\left\{ s_{n}(f ; 0) / \lambda_{n}\right\}$ неограничена. Указание: Примените рассуждение упражнения 18 и рассуждение раздела 5.11 с более точной оценкой $\left\| D_{n}\right\|_{1}$, чем использовалась там.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{1}$ измеримо, и $m(E) = 0$. Обязательно ли существует сдвиг $E+x$ множества $E$, не пересекающийся с $E$? Обязательно ли существует гомеоморфизм $h$ пространства $\mathbb {R}^{1}$ на $\mathbb {R}^{1}$ такой, что $h(E)$ не пересекается с $E$?

Пусть $f \in C(T)$ и $f \in \operatorname {Lip} \alpha$ при некотором $\alpha > 0$. (См. упражнение 11). Докажите, что ряд Фурье функции $f$ сходится к $f(x)$, завершив следующий план: достаточно рассмотреть случай $x = 0$, $f(0) = 0$. Разность между частичными суммами $s_{n}(f ; 0)$ и интегралами

стремится к 0 при $n \rightarrow \infty$. Функция $f(t) / t$ принадлежит $L^{1}(T)$. Примените лемму Римана–Лебега. Более тщательное рассуждение показывает, что сходимость на самом деле равномерна на $T$.