Элементарная теория гильбертовых пространств

Если $M$ — замкнутое подпространство $H$, докажите, что $M = \left(M^{\perp }\right)^{\perp }$. Существует ли аналогичное верное утверждение для подпространств $M$, не обязательно замкнутых?

Пусть $\left\{ x_{n}: n = 1,2,3, \ldots \right\}$ — линейно независимый набор векторов в $H$. Покажите, что следующая конструкция даёт ортонормированный набор $\left\{ u_{n}\right\}$ такой, что $\left\{ x_{1}, \ldots , x_{N}\right\}$ и $\left\{ u_{1}, \ldots , u_{N}\right\}$ имеют одну и ту же линейную оболочку при всех $N$.

Заметьте, что это приводит к доказательству существования максимального ортонормированного набора в сепарабельных гильбертовых пространствах, не прибегающему к принципу максимальности Хаусдорфа. (Пространство сепарабельно, если оно содержит счётное плотное подмножество).

Покажите, что $L^{p}(T)$ сепарабельно, если $1 \leq p < \infty$, но что $L^{\infty }(T)$ не сепарабельно.

Покажите, что $H$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $H$ содержит максимальную ортонормированную систему, не более чем счётную.

Если $M = \left\{ x: L x = 0\right\}$, где $L$ — непрерывный линейный функционал на $H$, докажите, что $M^{\perp }$ — векторное пространство размерности 1 (если только не $M = H$).

Пусть $\left\{ u_{n}\right\} (n = 1,2,3, \ldots )$ — ортонормированный набор в $H$. Покажите, что это даёт пример замкнутого и ограниченного множества, не являющегося компактным. Пусть $Q$ — множество всех $x \in H$ вида

Докажите, что $Q$ компактно. ($Q$ называется гильбертовым кубом).

В более общем случае пусть $\left\{ \delta_{n}\right\}$ — последовательность положительных чисел, и пусть $S$ — множество всех $x \in H$ вида

Докажите, что $S$ компактно тогда и только тогда, когда $\sum_{1}^{\infty } \delta_{n}^{2} < \infty$. Докажите, что $H$ не является локально компактным.

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность положительных чисел такая, что $\sum a_{n} b_{n} < \infty$, как только $b_{n} \geq 0$ и $\sum b_{n}^{2} < \infty$. Докажите, что $\sum a_{n}^{2} < \infty$.

Указание: Если $\sum a_{n}^{2} = \infty$, то существуют непересекающиеся множества $E_{k}(k = 1,2,3, \ldots )$ такие, что

Определим $b_{n}$ так, чтобы $b_{n} = c_{k} a_{n}$ при $n \in E_{k}$. При подходящем выборе $c_{k}$, $\sum a_{n} b_{n} = \infty$, хотя $\sum b_{n}^{2} < \infty$.

Если $H_{1}$ и $H_{2}$ — два гильбертовых пространства, докажите, что одно из них изоморфно подпространству другого. (Заметьте, что каждое замкнутое подпространство гильбертова пространства является гильбертовым пространством).

Если $A \subset [0,2 \pi ]$ и $A$ измеримо, докажите, что

Пусть $n_{1} < n_{2} < n_{3} < \cdots$ — натуральные числа, и пусть $E$ — множество всех $x \in [0,2 \pi ]$, при которых $\left\{ \sin n_{k} x\right\}$ сходится. Докажите, что $m(E) = 0$. Указание: $2 \sin^{2} \alpha = 1-\cos 2 \alpha$, так что $\sin n_{k} x \rightarrow \pm 1 / \sqrt{2}$ п.в. на $E$, по упражнению 9.

Найдите непустое замкнутое множество $E$ в $L^{2}(T)$, не содержащее элемента наименьшей нормы.

Было показано, что константы $c_{k}$ в разделе 4.24 таковы, что $k^{-1} c_{k}$ ограничена. Оцените соответствующий интеграл точнее и покажите, что

Пусть $f$ — непрерывная функция на $\mathbb {R}^{1}$ с периодом 1. Докажите, что

для каждого иррационального действительного числа $\alpha$. Указание: Сначала сделайте это для

Вычислите

и найдите

где $g$ подчинена ограничениям

Вычислите

Сформулируйте и решите соответствующую задачу на максимум, как в упражнении 14.

Если $x_{0} \in H$ и $M$ — замкнутое линейное подпространство $H$, докажите, что

Покажите, что существует непрерывное взаимно однозначное отображение $\gamma$ из $[0,1]$ в $H$ такое, что $\gamma (b)-\gamma (a)$ ортогонально $\gamma (d)-\gamma (c)$, как только $0 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 1$. ($\gamma$ можно назвать «кривой с ортогональными приращениями».) Указание: Возьмите $H = L^{2}$ и рассмотрите характеристические функции некоторых подмножеств $[0,1]$.

Определим $u_{s}(t) = e^{i s t}$ при всех $s \in \mathbb {R}^{1}, t \in \mathbb {R}^{1}$. Пусть $X$ — комплексное векторное пространство, состоящее из всех конечных линейных комбинаций этих функций $u_{s}$. Если $f \in X$ и $g \in X$, покажите, что

существует. Покажите, что это скалярное произведение превращает $X$ в унитарное пространство, пополнение которого является несепарабельным гильбертовым пространством $H$. Покажите также, что $\left\{ u_{s}: s \in \mathbb {R}^{1}\right\}$ — максимальный ортонормированный набор в $H$.

Зафиксируем натуральное число $N$, положим $\omega = e^{2 \pi i / N}$, докажите соотношения ортогональности

и используйте их для вывода тождеств

которые верны в каждом пространстве со скалярным произведением, если $N \geq 3$. Покажите также, что