Пространства $L^p$

Докажите, что верхняя грань любой совокупности выпуклых функций на $(a, b)$ выпукла на $(a, b)$ (если она конечна) и что поточечные пределы последовательностей выпуклых функций выпуклы. Что можно сказать о верхних и нижних пределах последовательностей выпуклых функций?

Если $\varphi$ выпукла на $(a, b)$ и если $\psi$ выпукла и не убывает на образе $\varphi$, докажите, что $\psi \circ \varphi$ выпукла на $(a, b)$. Для $\varphi > 0$ покажите, что выпуклость $\log \varphi$ влечёт выпуклость $\varphi$, но не наоборот.

Предположим, что $\varphi$ — непрерывная действительная функция на $(a, b)$, такая что

для всех $x$ и $y \in (a, b)$. Докажите, что $\varphi$ выпукла. (Заключение не следует, если непрерывность опустить из предположений).

Пусть $f$ — комплексная измеримая функция на $X$, $\mu$ — положительная мера на $X$, и

Пусть $E = \left\{ p: \varphi (p) < \infty \right\}$. Предположим $\left\| f\right\|_{\infty } > 0$.

Предположим, в дополнение к условиям упражнения 4, что

Пусть $m$ — мера Лебега на $[0,1]$, и определим $\left\| f\right\|_{p}$ относительно $m$. Найдите все функции $\Phi$ на $[0, \infty )$ такие, что соотношение

выполняется для каждой ограниченной, измеримой, положительной $f$. Сначала покажите, что

Сравните с упражнением $5(d)$.

Для одних мер соотношение $r < s$ влечёт $L^{r}(\mu ) \subset L^{s}(\mu )$; для других включение обратное; а для некоторых $L^{r}(\mu )$ не содержит $L^{s}(\mu )$ при $r \neq s$. Приведите примеры этих ситуаций и найдите условия на $\mu$, при которых возникают эти ситуации.

Если $g$ — положительная функция на $(0,1)$ такая, что $g(x) \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow 0$, то существует выпуклая функция $h$ на $(0,1)$ такая, что $h \leq g$ и $h(x) \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow 0$. Верно или неверно? Меняется ли задача, если $(0,1)$ заменить на $(0, \infty )$, а $x \rightarrow 0$ на $x \rightarrow \infty$?

Пусть $f$ измерима по Лебегу на $(0,1)$ и не является существенно ограниченной. По упражнению $4($e), $\left\| f\right\|_{p} \rightarrow \infty$ при $p \rightarrow \infty$. Может ли $\left\| f\right\|_{p}$ стремиться к $\infty$ произвольно медленно? Точнее, верно ли, что для каждой положительной функции $\Phi$ на $(0, \infty )$ такой, что $\Phi (p) \rightarrow \infty$ при $p \rightarrow \infty$, можно найти $f$ такую, что $\left\| f\right\|_{p} \rightarrow \infty$ при $p \rightarrow \infty$, но $\left\| f\right\|_{p} \leq \Phi (p)$ при всех достаточно больших $p$?

Пусть $f_{n} \in L^{p}(\mu )$ при $n = 1,2,3, \ldots$, и $\left\| f_{n}-f\right\|_{p} \rightarrow 0$, и $f_{n} \rightarrow g$ п.в. при $n \rightarrow \infty$. Какое отношение существует между $f$ и $g$?

Пусть $\mu (\Omega ) = 1$, и пусть $f$ и $g$ — положительные измеримые функции на $\Omega$ такие, что $f g \geq 1$. Докажите, что

Пусть $\mu (\Omega ) = 1$ и $h: \Omega \rightarrow [0, \infty ]$ измерима. Если

докажите, что

Если $\mu$ — мера Лебега на $[0,1]$ и если $h$ непрерывна, $h = f^{\prime }$, приведённые выше неравенства имеют простую геометрическую интерпретацию. Исходя из этого, выскажите гипотезу (для общего $\Omega$), при каких условиях на $h$ может достигаться равенство в любом из указанных неравенств, и докажите свою гипотезу.

При каких условиях на $f$ и $g$ достигается равенство в заключениях теорем 3.8 и 3.9? Возможно, придётся рассматривать случаи $p = 1$ и $p = \infty$ отдельно.

Пусть $1 < p < \infty$, $f \in L^{p} = L^{p}((0, \infty ))$ относительно меры Лебега, и

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность положительных чисел. Докажите, что

если $1 < p < \infty$. Указание: Если $a_{n} \geq a_{n+1}$, результат можно вывести из упражнения 14. Этот частный случай влечёт общий.

Докажите теорему Егорова: Если $\mu (X) < \infty$, если $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность комплексных измеримых функций, сходящаяся поточечно в каждой точке $X$, и если $\epsilon > 0$, то существует измеримое множество $E \subset X$ с $\mu (X-E) < \epsilon$, такое что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно на $E$. (Вывод состоит в том, что, переопределив $f_{n}$ на множестве сколь угодно малой меры, мы можем превратить поточечно сходящуюся последовательность в равномерно сходящуюся; заметьте сходство с теоремой Лузина).

Указание: Положим

покажите, что $\mu (S(n, k)) \rightarrow \mu (X)$ при $n \rightarrow \infty$ для каждого $k$, и, следовательно, что существует подходящим образом возрастающая последовательность $\left\{ n_{k}\right\}$ такая, что $E = \bigcap S\left(n_{k}, k\right)$ обладает нужным свойством.

Покажите, что теорема не распространяется на $\sigma$-конечные пространства. Покажите, что теорема распространяется, по существу с тем же доказательством, на ситуацию, в которой последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ заменена семейством $\left\{ f_{t}\right\}$, где $t$ пробегает положительные действительные числа; предположения теперь таковы, что для всех $x \in X$,

(i) $\lim_{t \rightarrow \infty } f_{t}(x) = f(x)$ и

(ii) $t \rightarrow f_{t}(x)$ непрерывна.

Пусть $\mu$ — положительная мера на $X$. Говорят, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ комплексных измеримых функций на $X$ сходится по мере к измеримой функции $f$, если для каждого $\epsilon > 0$ найдётся $N$ такое, что

при всех $n > N$. (Это понятие важно в теории вероятностей). Пусть $\mu (X) < \infty$, докажите следующие утверждения:

Определим существенный образ функции $f \in L^{\infty }(\mu )$ как множество $R_{f}$, состоящее из всех комплексных чисел $w$ таких, что

для каждого $\epsilon > 0$. Докажите, что $R_{f}$ компактно. Какое отношение существует между множеством $R_{f}$ и числом $\left\| f\right\|_{\infty }$?

Пусть $A_{f}$ — множество всех средних

где $E \in \mathfrak {M}$ и $\mu (E) > 0$. Какие отношения существуют между $A_{f}$ и $R_{f}$? Всегда ли $A_{f}$ замкнуто? Существуют ли меры $\mu$ такие, что $A_{f}$ выпукло для каждой $f \in L^{\infty }(\mu )$? Существуют ли меры $\mu$ такие, что $A_{f}$ не является выпуклым для некоторой $f \in L^{\infty }(\mu )$?

Как изменятся эти результаты, если $L^{\infty }(\mu )$ заменить на $L^{1}(\mu )$, например?

Пусть $\varphi$ — действительная функция на $\mathbb {R}^{1}$ такая, что

для каждой действительной ограниченной измеримой $f$. Докажите, что тогда $\varphi$ выпукла.

Назовём метрическое пространство $Y$ пополнением метрического пространства $X$, если $X$ плотно в $Y$ и $Y$ полно. В разделе 3.15 упоминалось «пополнение» метрического пространства. Сформулируйте и докажите теорему единственности, оправдывающую эту терминологию.

Пусть $X$ — метрическое пространство, в котором каждая последовательность Коши имеет сходящуюся подпоследовательность. Следует ли отсюда, что $X$ полно? (См. доказательство теоремы 3.11).

Пусть $\mu$ — положительная мера на $X$, $\mu (X) < \infty$, $f \in L^{\infty }(\mu ),\left\| f\right\|_{\infty } > 0$, и

Докажите, что

Пусть $\mu$ — положительная мера, $f \in L^{p}(\mu ), g \in L^{p}(\mu )$.

Пусть $\mu$ — положительная мера на $X$, и $f: X \rightarrow (0, \infty )$ удовлетворяет $\int_{X} f d \mu = 1$. Докажите для каждого $E \subset X$ с $0 < \mu (E) < \infty$, что

и, при $0 < p < 1$,

Если $f$ — положительная измеримая функция на $[0,1]$, что больше: