Равномерное приближение многочленами

Распространите теорему Мергеляна на случай, когда $S^{2}-K$ имеет конечное число компонент: докажите, что тогда каждую $f \in C(K)$, голоморфную во внутренности $K$, можно равномерно приблизить на $K$ рациональными функциями.

Покажите, что результат упражнения 1 не распространяется на произвольные компактные множества $K$ на плоскости, проверив детали следующего примера. Для $n = 1,2,3, \ldots$ пусть $D_{n} = D\left(\alpha_{n} ; r_{n}\right)$ — непересекающиеся открытые круги в $U$, объединение $V$ которых плотно в $U$, такие что $\Sigma r_{n} < \infty$. Положим $K = \bar{U}-V$. Пусть $\Gamma$ и $\gamma_{n}$ — пути

и определим

Докажите, что $L$ — ограниченный линейный функционал на $C(K)$, докажите, что $L(R) = 0$ для каждой рациональной функции $R$, полюсы которой лежат вне $K$, и докажите, что существует $f \in C(K)$, для которой $L(f) \neq 0$.

Покажите, что функция $g$, построенная в доказательстве леммы 20.2, имеет наименьшую норму супремума среди всех $f \in H(\Omega )$, таких что $z f(z) \rightarrow 1$ при $z \rightarrow \infty$. (Это мотивирует доказательство леммы).

Покажите также, что $b = c_{0}$ в этом доказательстве и что неравенство $\left|b\right| < 4 r$ поэтому можно заменить на $\left|b\right| < r$. На самом деле $b$ лежит в выпуклой оболочке множества $E$.