Голоморфные преобразования Фурье

Пусть $f$ — целая функция экспоненциального типа, и

Докажите, что либо $\varphi (y) = \infty$ для всех действительных $y$, либо $\varphi (y) < \infty$ для всех действительных $y$. Докажите, что $f = 0$, если $\varphi$ — ограниченная функция.

Пусть $f$ — целая функция экспоненциального типа, такая что ограничение $f$ на две непараллельные прямые принадлежит $L^{2}$. Докажите, что $f = 0$.

Пусть $f$ — целая функция экспоненциального типа, ограничение которой на две непараллельные прямые ограничено. Докажите, что $f$ постоянна. (Примените упражнение 9, гл. 12).

Пусть $f$ — целая функция, $\left|f(z)\right| < C \exp (A\left|z\right|)$, и $f(z) = \Sigma a_{n} z^{n}$. Положим

Докажите, что ряд сходится при $\left|w\right| > A$, что

если $\Gamma (t) = (A+\epsilon ) e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 \pi$, и что $\Phi$ — та же функция, которая фигурировала в доказательстве теоремы 19.3. (См. также п. 19.4).

Пусть $f$ удовлетворяет условиям теоремы 19.2. Докажите, что формула Коши

верна; здесь $z = x+i y$. Докажите, что

существует почти для всех $x$. Какова связь между $f^{*}$ и функцией $F$, фигурирующей в теореме 19.2? Верно ли $({ }^{*})$ при $\epsilon = 0$ и с $f^{*}$ вместо $f$ в подынтегральном выражении?

Пусть $\varphi \in L^{2}(-\infty , \infty )$ и $\varphi > 0$. Докажите, что существует $f$ с $\left|f\right| = \varphi$, такая что преобразование Фурье $f$ обращается в нуль на полупрямой тогда и только тогда, когда

Указание: рассмотрите $f^{*}$, как в упражнении 5, где $f = \exp (u+i v)$ и

Пусть $f$ — комплексная функция на замкнутом множестве $E$ на плоскости. Докажите, что следующие два условия на $f$ эквивалентны:

Докажите, что $C\left\{ n!\right\} = C\left\{ n^{n}\right\}$.

Докажите, что существуют квазианалитические классы, более широкие, чем $C\left\{ n!\right\}$.

Положим $\lambda_{n} = M_{n-1} / M_{n}$, как в доказательстве теоремы 19.11. Выберем $g_{0} \in C_{c}\left(\mathbb {R}^{1}\right)$, и определим

Докажите непосредственно (не используя преобразование Фурье или голоморфные функции), что $g = \lim g_{n}$ — функция, которая демонстрирует, что (e) влечёт (a) в теореме 19.11. (Можно выбрать любую удобную $g_{0}$).

Найдите явную формулу для функции $\varphi \in C^{\infty }$ с носителем в [-2,2], такой что $\varphi (x) = 1$, если $-1 \leq x \leq 1$.

Докажите, что каждой последовательности $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ комплексных чисел соответствует функция $f \in C^{\infty }$, такая что $\left(D^{n} f\right)(0) = \alpha_{n}$ для $n = 0,1,2, \ldots$ Указание: если $\varphi$ такая, как в упражнении 11, если $\beta_{n} = \alpha_{n} / n!$, если $g_{n}(x) = \beta_{n} x^{n} \varphi (x)$, и если

то $\left\| D^{k} f_{n}\right\|_{\infty } < 2^{-n}$ для $k = 0, \ldots , n-1$, при условии что $\lambda_{n}$ достаточно велико. Возьмите $f = \Sigma f_{n}$.

Постройте функцию $f \in C^{\infty }$, такую что степенной ряд

имеет радиус сходимости 0 для каждого $a \in \mathbb {R}^{1}$. Указание: положим

где $\left\{ c_{k}\right\}$ и $\left\{ \lambda_{k}\right\}$ — последовательности положительных чисел, выбранные так, что $\Sigma c_{k} \lambda_{k}^{n} < \infty$ для $n = 0,1,2, \ldots$ и так, что $c_{n} \lambda_{n}^{n}$ возрастает очень быстро и намного превосходит сумму всех остальных членов ряда $\Sigma c_{k} \lambda_{k}^{n}$.

Например, положим $c_{k} = \lambda_{k}^{1-k}$, и выберем $\left\{ \lambda_{k}\right\}$ так, чтобы

Пусть $C\left\{ M_{n}\right\}$ квазианалитичен, $f \in C\left\{ M_{n}\right\}$, и $f(x) = 0$ для бесконечного числа $x \in [0,1]$. Что из этого следует?

Пусть $X$ — векторное пространство всех целых функций $f$, удовлетворяющих $\left|f(z)\right| \leq C e^{\pi \left|z\right|}$ при некотором $C < \infty$, и ограничение которых на действительную ось принадлежит $L^{2}$. Сопоставим каждой $f \in X$ её ограничение на целые числа. Докажите, что $f \rightarrow \left\{ f(n)\right\}$ — линейное взаимно однозначное отображение $X$ на $\ell^{2}$.

Пусть $f$ — измеримая функция на $(-\infty , \infty )$, такая что $\left|f(x)\right| < e^{-\left|x\right|}$ для всех $x$. Докажите, что её преобразование Фурье $\hat{f}$ не может иметь компактный носитель, если только не $f(x) = 0$ почти всюду.