Пространства $H^p$

Докажите теоремы 17.4 и 17.5 для полунепрерывных сверху субгармонических функций.

Пусть $f \in H(\Omega )$, и докажите, что $\log (1+\left|f\right|)$ субгармонична в $\Omega$.

Пусть $0 < p \leq \infty$ и $f \in H(U)$. Докажите, что $f \in H^{p}$ тогда и только тогда, когда существует гармоническая функция $u$ в $U$, такая что $\left|f(z)\right|^{p} \leq u(z)$ для всех $z \in U$. Докажите, что если существует хотя бы один такой гармонический мажорант $u$ функции $\left|f\right|^{p}$, то существует наименьший из них, скажем $u_{f}$. (Точнее, $\left|f\right|^{p} \leq u_{f}$ и $u_{f}$ гармонична; и если $\left|f\right|^{p} \leq u$ и $u$ гармонична, то $u_{f} \leq u$). Докажите, что $\left\| f\right\|_{p} = u_{f}(0)^{1 / p}$. Указание: рассмотрите гармонические функции в $D(0 ; R)$, $R < 1$, с граничными значениями $\left|f\right|^{p}$, и положите $R \rightarrow 1$.

Докажите аналогично, что $f \in N$ тогда и только тогда, когда $\log^{+}\left|f\right|$ имеет гармонический мажорант в $U$.

Пусть $f \in H^{p}, \varphi \in H(U)$, и $\varphi (U) \subset U$. Следует ли отсюда, что $f \circ \varphi \in H^{p}$? Ответьте на тот же вопрос для $N$ вместо $H^{p}$.

Если $0 < r < s \leq \infty$, покажите, что $H^{s}$ является собственным подклассом $H^{r}$.

Покажите, что $H^{\infty }$ является собственным подклассом пересечения всех $H^{p}$ при $p < \infty$.

Если $f \in H^{1}$ и $f^{*} \in L^{p}(T)$, докажите, что $f \in H^{p}$.

Пусть $f \in H(U)$ и $f(U)$ не плотно на плоскости. Докажите, что $f$ имеет конечные радиальные пределы почти во всех точках $T$.

Зафиксируем $\alpha \in U$. Докажите, что отображение $f \rightarrow f(\alpha )$ является ограниченным линейным функционалом на $H^{2}$. Поскольку $H^{2}$ — гильбертово пространство, этот функционал можно представить в виде скалярного произведения с некоторой $g \in H^{2}$. Найдите эту $g$.

Зафиксируем $\alpha \in U$. Насколько большим может быть $\left|f^{\prime }(\alpha )\right|$, если $\left\| f\right\|_{2} \leq 1$? Найдите экстремальные функции. Сделайте то же самое для $f^{(n)}(\alpha )$.

Пусть $p \geq 1, f \in H^{p}$, и $f^{*}$ действительна почти всюду на $T$. Докажите, что тогда $f$ постоянна. Покажите, что этот результат неверен для любого $p < 1$.

Пусть $f \in H(U)$, и пусть существует $M < \infty$, такое что $f$ отображает каждую окружность радиуса $r < 1$ с центром в 0 на кривую $\gamma_{r}$, длина которой не превышает $M$. Докажите, что $f$ имеет непрерывное продолжение на $\bar{U}$ и что ограничение $f$ на $T$ абсолютно непрерывно.

Пусть $\mu$ — комплексная борелевская мера на $T$, такая что

Докажите, что тогда либо $\mu = 0$, либо носитель $\mu$ есть весь $T$.

Пусть $K$ — собственное компактное подмножество единичной окружности $T$. Докажите, что каждую непрерывную функцию на $K$ можно равномерно приблизить на $K$ многочленами. Указание: используйте упражнение 14.

Завершите доказательство теоремы 17.17 для случая $0 < p < 1$.

Пусть $\varphi$ — непостоянная внутренняя функция, не имеющая нулей в $U$.

Пусть $\varphi$ — непостоянная внутренняя функция, $\left|\alpha \right| < 1$, и $\alpha \notin \varphi (U)$. Докажите, что $\lim_{r \rightarrow 1} \varphi \left(r e^{i \theta }\right) = \alpha$ хотя бы для одной точки $e^{i \theta } \in T$.

Пусть $f \in H^{1}$ и $1 / f \in H^{1}$. Докажите, что тогда $f$ — внешняя функция.

Пусть $f \in H^{1}$ и $\mathrm{Re}\left(f(z)\right) > 0$ для всех $z \in U$. Докажите, что $f$ — внешняя функция.

Докажите, что $f \in N$ тогда и только тогда, когда $f = g / h$, где $g$ и $h \in H^{\infty }$, и $h$ не имеет нулей в $U$.

Докажите следующее обращение теоремы 15.24: если $f \in H(U)$ и если

то $f$ — произведение Бляшке. Указание: $\left({ }^{*}\right)$ влечёт

Поскольку $\log^{+}\left|f\right| \geq 0$, из теорем 17.3 и 17.5 следует, что $\log^{+}\left|f\right| = 0$, значит $\left|f\right| \leq 1$. Теперь $f = B g, g$ не имеет нулей, $\left|g\right| \leq 1$, и $\left({ }^{*}\right)$ выполняется с $1 / g$ вместо $f$. По первому рассуждению, $\left|1 / g\right| \leq 1$. Следовательно, $\left|g\right| = 1$.

Найдите условия, упомянутые в п. 17.22.

Конформное отображение $U$ на вертикальную полосу показывает, что теорема М. Рисса о сопряжённых функциях не может быть распространена на $p = \infty$. Выведите отсюда, что она не может быть распространена и на $p = 1$.

Пусть $1 < p < \infty$, и сопоставим каждой $f \in L^{p}(T)$ её коэффициенты Фурье

Выведите следующие утверждения из теоремы 17.26:

Покажите, что существует гораздо более простое доказательство теоремы 17.26 при $p = 2$, и найдите наилучшее значение $A_{2}$.

Пусть $f(z) = \sum_{0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ в $U$ и $\sum \left|a_{n}\right| < \infty$. Докажите, что

для всех $\theta$.

Докажите, что следующие утверждения верны, если $\left\{ n_{k}\right\}$ — последовательность положительных целых чисел, стремящаяся к $\infty$ достаточно быстро. Если

то $\left|f^{\prime }(z)\right| > n_{k} /(10 k)$ для всех $z$, таких что

Следовательно,

для каждого $\theta$, хотя

существует (и конечен) почти для всех $\theta$. Дайте этому геометрическую интерпретацию в терминах длин образов радиусов $U$ при отображении $f$.

Используйте теорему 17.11, чтобы получить следующую характеризацию граничных значений $\mathrm{H}^{p^{-}}$функций, для $1 \leq p \leq \infty$:

Функция $g \in L^{p}(T)$ является $f^{*}$ (почти всюду) для некоторой $f \in H^{p}$ тогда и только тогда, когда

для всех отрицательных целых $n$.