Нули голоморфных функций

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ и $\left\{ b_{n}\right\}$ — последовательности комплексных чисел, такие что $\Sigma \left|a_{n}-b_{n}\right| < \infty$. На каких множествах произведение

сходится равномерно? Где оно определяет голоморфную функцию?

Пусть $f$ — целая функция, $\lambda$ — положительное число, и неравенство

выполняется для всех достаточно больших $\left|z\right|$. (Такие функции $f$ называются функциями конечного порядка. Точная нижняя грань всех $\lambda$, для которых выполняется указанное условие, называется порядком $f$). Если $f(z) = \Sigma a_{n} z^{n}$, докажите, что неравенство

выполняется для всех достаточно больших $n$. Рассмотрите функции $\exp \left(z^{k}\right), k = 1,2,3, \ldots$, чтобы выяснить, насколько указанная оценка для $\left|a_{n}\right|$ близка к наилучшей возможной.

Найдите все комплексные $z$, для которых $\exp (\exp (z)) = 1$. Изобразите их как точки на плоскости. Покажите, что не существует целой функции конечного порядка, имеющей нуль в каждой из этих точек (кроме, разумеется, $f \equiv 0$).

Покажите, что функция

имеет простой полюс с вычетом 1 в каждой целой точке. То же верно и для функции

Покажите, что обе функции периодичны $[f(z+1) = f(z)]$, что их разность есть ограниченная целая функция, а значит константа, и что эта константа на самом деле равна 0, поскольку

Это даёт разложение на простые дроби

(Сравните с упражнением 12, гл. 9). Заметьте, что $\pi \cot \pi z$ есть $\left(g^{\prime } / g\right)(z)$, если $g(z) = \sin \pi z$. Выведите отсюда представление в виде произведения

Пусть $k$ — положительное целое число, $\left\{ z_{n}\right\}$ — последовательность комплексных чисел, такая что $\Sigma \left|z_{n}\right|^{-k-1} < \infty$, и

(См. определение 15.7). Что можно сказать о скорости роста

Пусть $f$ — целая функция, $f(0) \neq 0,\left|f(z)\right| < \exp \left(\left|z\right|^{p}\right)$ для больших $\left|z\right|$, и $\left\{ z_{n}\right\}$ — последовательность нулей $f$, считаемых с учётом их кратности. Докажите, что $\Sigma \left|z_{n}\right|^{-p-\epsilon } < \infty$ для каждого $\epsilon > 0$. (Сравните с п. 15.20).

Пусть $f$ — целая функция, $f(\sqrt{n}) = 0$ для $n = 1,2,3, \ldots$, и существует положительная константа $\alpha$, такая что $\left|f(z)\right| < \exp \left(\left|z\right|^{\alpha }\right)$ для всех достаточно больших $\left|z\right|$. При каких $\alpha$ отсюда следует, что $f(z) = 0$ для всех $z$?

Пусть $\left\{ z_{n}\right\}$ — последовательность различных комплексных чисел, $z_{n} \neq 0$, такая что $z_{n} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$, и пусть $\left\{ m_{n}\right\}$ — последовательность положительных целых чисел. Пусть $g$ — мероморфная функция на плоскости, имеющая простой полюс с вычетом $m_{n}$ в каждой точке $z_{n}$ и не имеющая других полюсов. Если $z \notin \left\{ z_{n}\right\}$, пусть $\gamma (z)$ — произвольный путь из 0 в $z$, не проходящий ни через одну из точек $z_{n}$, и определим

Докажите, что $f(z)$ не зависит от выбора $\gamma (z)$ (хотя сам интеграл от него зависит), что $f$ голоморфна на дополнении к $\left\{ z_{n}\right\}$, что $f$ имеет устранимую особенность в каждой из точек $z_{n}$, и что продолжение $f$ имеет нуль порядка $m_{n}$ в точке $z_{n}$.

Таким образом, теорема существования, содержащаяся в теореме 15.9, может быть выведена из теоремы Миттаг-Леффлера.

Пусть $0 < \alpha < 1,0 < \beta < 1, f \in H(U), f(U) \subset U$, и $f(0) = \alpha$. Сколько нулей может иметь $f$ в круге $\bar{D}(0 ; \beta )$? Каков ответ, если

Для $N = 1,2,3, \ldots$ определим

Докажите, что идеал, порождённый $\left\{ g_{N}\right\}$ в кольце целых функций, не является главным.

При каких условиях на последовательность действительных чисел $y_{n}$ существует ограниченная голоморфная функция в открытой правой полуплоскости, не тождественно равная нулю, но имеющая нуль в каждой точке $1+i y_{n}$? В частности, может ли это иметь место, если

Пусть $0 < \left|\alpha_{n}\right| < 1, \Sigma \left(1-\left|\alpha_{n}\right|\right) < \infty$, и $B$ — произведение Бляшке с нулями в точках $\alpha_{n}$. Пусть $E$ — множество всех точек $1 / \bar{\alpha }_{n}$, и пусть $\Omega$ — дополнение замыкания $E$. Докажите, что произведение действительно сходится равномерно на каждом компактном подмножестве $\Omega$, так что $B \in H(\Omega )$, и что $B$ имеет полюс в каждой точке $E$. (Это представляет особый интерес в тех случаях, когда $\Omega$ связно).

Положим $\alpha_{n} = 1-n^{-2}$ для $n = 1,2,3, \ldots$, пусть $B$ — произведение Бляшке с нулями в этих точках $\alpha$, и докажите, что $\lim_{r \rightarrow 1} B(r) = 0$. (Подразумевается, что $0 < r < 1$).

Точнее, покажите, что оценка

верна, если $\alpha_{N-1} < r < \alpha_{N}$.

Докажите, что существует последовательность $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ с $0 < \alpha_{n} < 1$, стремящаяся к 1 настолько быстро, что произведение Бляшке с нулями в точках $\alpha_{n}$ удовлетворяет условию

Следовательно, это $B$ не имеет радиального предела в точке $z = 1$.

Пусть $\varphi$ — дробно-линейное преобразование, отображающее $U$ на $U$. Для любого $z \in U$ определим $\varphi$-орбиту точки $z$ как множество $\left\{ \varphi_{n}(z)\right\}$, где $\varphi_{0}(z) = z, \varphi_{n}(z) = \varphi \left(\varphi_{n-1}(z)\right), n = 1,2,3, \ldots$ Исключим случай $\varphi (z) = z$.

Пусть $\left|\alpha_{1}\right| \leq \left|\alpha_{2}\right| \leq \left|\alpha_{3}\right| \leq \cdots < 1$, и пусть $n(r)$ — число членов последовательности $\left\{ \alpha_{j}\right\}$, для которых $\left|\alpha_{j}\right| \leq r$. Докажите, что

Если $B(z) = \Sigma c_{k} z^{k}$ — произведение Бляшке, у которого есть хотя бы один нуль вне начала координат, возможно ли, чтобы $c_{k} \geq 0$ для $k = 0,1,2, \ldots$?

Пусть $B$ — произведение Бляшке, все нули которого лежат на отрезке $(0,1)$, и

Докажите, что производная $f$ ограничена в $U$.

Положим $f(z) = \exp [-(1+z) /(1-z)]$. Используя обозначения теоремы 15.19, покажите, что

хотя $f \in H^{\infty }$. Обратите внимание на контраст с теоремой 15.24.

Пусть $\lambda_{1} > \lambda_{2} > \cdots$, и $\lambda_{n} \rightarrow 0$ в теореме Мюнца–Саса. Каков вывод теоремы при этих условиях?

Докажите аналог теоремы Мюнца–Саса, с $L^{2}(I)$ вместо $C(I)$.

Положим $f_{n}(t) = t^{n} e^{-t}(0 \leq t < \infty , n = 0,1,2, \ldots )$ и докажите, что множество всех конечных линейных комбинаций функций $f_{n}$ плотно в $L^{2}(0, \infty )$. Указание: если $g \in L^{2}(0, \infty )$ ортогональна каждой $f_{n}$ и если

то все производные $F$ равны 0 в точке $z = 1$. Рассмотрите $F(1+i y)$.

Пусть $\Omega \supset \bar{U}, f \in H(\Omega ),\left|f\left(e^{i \theta }\right)\right| \geq 3$ для всех действительных $\theta , f(0) = 0$, и $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{N}$ — нули $1-f$ в $U$, считаемые с учётом их кратности. Докажите, что

Указание: рассмотрите $B /(1-f)$, где $B$ — некоторое произведение Бляшке.