Конформные отображения

Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа $a, b, c$ и $d$, чтобы дробно-линейное преобразование $z \rightarrow (a z+b) /(c z+d)$ отображало верхнюю полуплоскость на себя.

В теореме 11.14 предположения были, в упрощённой форме, такими: $\Omega \subset \Pi^{+}, L$ лежит на действительной оси, и $\mathrm{Im}\left(f(z)\right) \rightarrow 0$ при $z \rightarrow L$. Используйте эту теорему, чтобы установить аналогичные теоремы отражения при следующих предположениях:

Пусть $R$ — рациональная функция такая, что $\left|R(z)\right| = 1$, если $\left|z\right| = 1$. Докажите, что

где $c$ — константа, $m$ — целое число, а $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{k}$ — комплексные числа такие, что $\alpha_{n} \neq 0$ и $\left|\alpha_{n}\right| \neq 1$. Заметьте, что каждый из вышеуказанных множителей имеет абсолютную величину 1, если $\left|z\right| = 1$.

Получите аналогичное описание тех рациональных функций, которые положительны на $T$. Указание: Такая функция должна иметь одинаковое число нулей и полюсов в $U$. Рассмотрите произведения множителей вида

где $\left|\alpha \right| < 1$ и $\left|\beta \right| < 1$.

Пусть $f$ — тригонометрический многочлен,

и $f(\theta ) > 0$ при всех действительных $\theta$. Докажите, что существует многочлен $P(z) = c_{0}+c_{1} z+\cdots +c_{n} z^{n}$ такой, что

Указание: Примените упражнение 4 к рациональной функции $\Sigma a_{k} z^{k}$. Остаётся ли результат верным, если предположить $f(\theta ) \geq 0$ вместо $f(\theta ) > 0$?

Найдите неподвижные точки отображений $\varphi_{\alpha }$ (определение 12.3). Существует ли прямая, которую $\varphi_{\alpha }$ отображает в себя?

Найдите все комплексные числа $\alpha$, при которых $f_{\alpha }$ взаимно однозначна в $U$, где

Опишите $f_{\alpha }(U)$ во всех этих случаях.

Пусть $f(z) = z+(1 / z)$. Опишите семейства эллипсов и гипербол, на которые $f$ отображает окружности с центром в 0 и лучи, выходящие из 0.

Пусть $f$ и $g$ — голоморфные отображения $U$ в $\Omega$, $f$ взаимно однозначно, $f(U) = \Omega$, и $f(0) = g(0)$. Докажите, что

Пусть $\Omega$ — верхняя половина единичного диска $U$. Найдите конформное отображение $f$ области $\Omega$ на $U$, переводящее $\left\{ -1,0,1\right\}$ в $\left\{ -1,-i, 1\right\}$. Найдите $z \in \Omega$ такое, что $f(z) = 0$. Найдите $f(i / 2)$. Указание: $f = \varphi \circ s \circ \psi$, где $\varphi$ и $\psi$ — дробно-линейные преобразования, а $s(\lambda ) = \lambda^{2}$.

Пусть $\Omega$ — выпуклая область, $f \in H(\Omega )$, и $\mathrm{Re}\left(f^{\prime }(z)\right) > 0$ для всех $z \in \Omega$. Докажите, что $f$ взаимно однозначна в $\Omega$. Изменится ли результат, если предположение ослабить до $\mathrm{Re}\left(f^{\prime }(z)\right) \geq 0$? (Исключите тривиальный случай $f =$ константа). Покажите на примере, что «выпуклую» нельзя заменить на «односвязную».

Пусть $\Omega$ — область, $f_{n} \in H(\Omega )$ при $n = 1,2,3, \ldots$, каждая $f_{n}$ взаимно однозначна в $\Omega$, и $f_{n} \rightarrow f$ равномерно на компактных подмножествах $\Omega$. Докажите, что $f$ либо постоянна, либо взаимно однозначна в $\Omega$. Покажите, что оба случая могут иметь место.

Пусть $\Omega = \left\{ x+i y:-1 < y < 1\right\} , f \in H(\Omega ),\left|f\right| < 1$, и $f(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$. Докажите, что

и что переход к пределу равномерен, если $y$ ограничено интервалом $[-\alpha , \alpha ]$, где $\alpha < 1$. Указание: Рассмотрите последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$, где $f_{n}(z) = z+n$, в квадрате $\left|x\right| < 1,\left|y\right| < 1$.

Что этот результат говорит о поведении функции $g \in H^{\infty }$ вблизи граничной точки $U$, в которой существует радиальный предел $g$?

Пусть $\mathscr {F}$ — класс всех $f \in H(U)$ таких, что $\mathrm{Re}\left(f\right) > 0$ и $f(0) = 1$. Покажите, что $\mathscr {F}$ — нормальное семейство. Можно ли опустить условие «$f(0) = 1$»? Можно ли заменить его на «$\left|f(0)\right| \leq 1$»?

Пусть $\mathscr {F}$ — класс всех $f \in H(U)$, для которых

Является ли это нормальным семейством?

Пусть $\Omega$ — область, $f_{n} \in H(\Omega )$ при $n = 1,2,3, \ldots$, $f_{n} \rightarrow f$ равномерно на компактных подмножествах $\Omega$, и $f$ взаимно однозначна в $\Omega$. Следует ли отсюда, что каждому компакту $K \subset \Omega$ соответствует целое число $N(K)$ такое, что $f_{n}$ взаимно однозначна на $K$ при всех $n > N(K)$? Приведите доказательство или контрпример.

Пусть $\Omega$ — односвязная область, $z_{0} \in \Omega$, и $f$ и $g$ — взаимно однозначные конформные отображения $\Omega$ на $U$, переводящие $z_{0}$ в 0. Какое соотношение существует между $f$ и $g$? Ответьте на тот же вопрос, если $f\left(z_{0}\right) = g\left(z_{0}\right) = a$, для некоторого $a \in U$.

Найдите гомеоморфизм $U$ на $U$, который нельзя продолжить до непрерывной функции на $\bar{U}$.

Если $f \in \mathscr {S}$ (определение 14.10) и $n$ — положительное целое число, докажите, что существует $g \in \mathscr {S}$ такая, что $g^{n}(z) = f\left(z^{n}\right)$ для всех $z \in U$.

Найдите все $f \in \mathscr {S}$ такие, что

Пусть $f$ — взаимно однозначное конформное отображение $U$ на квадрат с центром в 0, и $f(0) = 0$. Докажите, что $f(i z) = i f(z)$. Если $f(z) = \Sigma c_{n} z^{n}$, докажите, что $c_{n} = 0$, если только $n-1$ не кратно 4. Обобщите это: замените квадрат другими односвязными областями с вращательной симметрией.

Пусть $\Omega$ — ограниченная область, граница которой состоит из двух непересекающихся окружностей. Докажите, что существует взаимно однозначное конформное отображение $\Omega$ на кольцо. (Это верно для каждой области $\Omega$ такой, что $S^{2}-\Omega$ имеет ровно две компоненты, каждая из которых содержит более одной точки, но этот общий случай труднее рассмотреть).

Заполните детали в следующем доказательстве теоремы 14.22. Пусть $1 < R_{2} < R_{1}$ и $f$ — взаимно однозначное конформное отображение $A\left(1, R_{1}\right)$ на $A\left(1, R_{2}\right)$. Определим $f_{1} = f$ и $f_{n} = f \circ f_{n-1}$. Тогда некоторая подпоследовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно на компактных подмножествах $A\left(1, R_{1}\right)$ к функции $g$. Покажите, что образ $g$ не может содержать никакого непустого открытого множества (например, по теореме о трёх окружностях). С другой стороны, покажите, что $g$ не может быть постоянной на окружности $\left\{ z:\left|z\right|^{2} = R_{1}\right\}$. Следовательно, $f$ не может существовать.

Вот ещё одно доказательство теоремы 14.22. Если $f$ такая, как в 14.22, повторное применение принципа отражения продолжает $f$ до целой функции такой, что $\left|f(z)\right| = 1$, как только $\left|z\right| = 1$. Это влечёт $f(z) = \alpha z^{n}$, где $\left|\alpha \right| = 1$ и $n$ — целое число. Заполните детали.

Повторение шага 2 в доказательстве теоремы 14.8 приводит к доказательству (принадлежащему Кёбе) теоремы Римана об отображении, которое конструктивно в том смысле, что оно не апеллирует к теории нормальных семейств и потому не зависит от существования какой-либо неопределённой подпоследовательности. Для последнего шага доказательства удобно предположить, что $\Omega$ обладает свойством $(h)$ теоремы 13.11. Тогда любая область, конформно эквивалентная $\Omega$, будет удовлетворять $(h)$. Напомним также, что $(h)$ тривиально влечёт $(j)$.

По шагу 1 в теореме 14.8 мы можем без ограничения общности предположить, что $0 \in \Omega , \Omega \subset U$, и $\Omega \neq U$. Положим $\Omega = \Omega_{0}$. Доказательство состоит в построении областей $\Omega_{1}, \Omega_{2}, \Omega_{3}, \ldots$ и функций $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots$ так, чтобы $f_{n}\left(\Omega_{n-1}\right) = \Omega_{n}$, и чтобы функции $f_{n} \circ f_{n-1} \circ \cdots \circ f_{2} \circ f_{1}$ сходились к конформному отображению $\Omega$ на $U$.

Заполните детали в следующем плане.

Докажите, что $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(1-r_{n}\right)^{2} < \infty$, где $\left\{ r_{n}\right\}$ — последовательность, встречающаяся в упражнении 26. Указание:

Предположим, что в упражнении 26 мы выбираем $\alpha_{n} \in U-\Omega_{n-1}$, не настаивая на том, что $\left|\alpha_{n}\right| = r_{n}$. Например, потребуем только, чтобы

Будет ли получающаяся последовательность $\left\{ \psi_{n}\right\}$ по-прежнему сходиться к искомой отображающей функции?

Пусть $\Omega$ — ограниченная область, $a \in \Omega , f \in H(\Omega ), f(\Omega ) \subset \Omega$, и $f(a) = a$.

Пусть $\Lambda$ — множество всех дробно-линейных преобразований. Если $\left\{ \alpha , \beta , \gamma , \delta \right\}$ — упорядоченная четвёрка различных комплексных чисел, её двойным (ангармоническим) отношением называется

Если одно из этих чисел равно $\infty$, определение видоизменяется очевидным образом, по непрерывности. То же применимо, если $\alpha$ совпадает с $\beta$, $\gamma$ или $\delta$.

Для $z \in \bar{U}, z^{2} \neq 1$, определим

выбрав ветвь $\log$, для которой $\log 1 = 0$. Опишите $f(E)$, если $E$ есть

Если $\varphi_{\alpha }$ такое, как в определении 12.3, покажите, что